Exemple. Par le changement de variable u = t + 1, on a
t
3
(t+1)
2
dt =
x+1 (u−1)
3
u
2
du =
(u − 3 + 3u
−1
− u
−2 ) du
= u
2
2
− 3u + 3 ln |u| + 1
u
=
(x+1)
2
2
− 3(x+1) + 3 ln |x+1| + 1
x+1
2.
P
Q
=
x + p
x
2 + bx + c
. En écrivant que x
2 + bx est le début d’un carré, on a
x
2 + bx + c = (x + b/2)
2 + d , où d = c − b
4 /4 est supposé non nul.
Pour calculer l’intégrale, faisons le changement de variable u = t + b/2. Il vient
dt = du, t + p = u + p − b/2 et
t + p
t
2 + bt + c
dt =
x+b/2 u + p − b/2
u
2 + d
du =
u
u
2 + d
du + (p − b/2)
du
u
2 + d
® Dans la première intégrale, le numérateur est, à un facteur 1/2 près, la dérivée
du dénominateur : cette intégrale est donc 1
2
ln |u
2 +d| = 1
2
ln |x
2 +bx+c|.
® Pour calculer la seconde intégrale, on pose d = r
2 si d > 0 et d = −r
2 sinon, et
l’on obtient une intégrale usuelle (page 298).
Exemple. Calculons I =
2t + 1
t
2 − 2t + 3
dt. Puisque x
2
− 2x + 3 = (x − 1)
2 + 2, on
pose u = t − 1. On a alors 2t + 1 = 2u + 3 et il vient
I =
x−1 2u + 3
u
2 + 2
du =
2u du
u
2 + 2
+ 3
du
u
2 + 2
= ln(u
2 + 2) + 3 1
√
2
Arc tan u
√
2
= ln(x
2
− 2x + 3) + 3
√
2
Arc tan
x − 1
√
2
3. Réduction du degré du numérateur. Supposons que le degré de P est supérieur à celui de Q. Faisons la division euclidienne de P par Q (page 49) en
appelant E le polynôme quotient et R le reste : on a P = EQ + R, où R est de
degré inférieur à celui de Q, d’où P
Q
= E + R
Q
.
Puisqu’il est très simple d’intégrer le polynôme E(x), on est ramené à calculer une
primitive de la fraction
R(x)
Q(x)
où le numérateur est de degré inférieur à celui du
dénominateur.
Exemple. Posons f (x)= x
3
x
2 + 1
. La division de x
3 par x
2 +1 s’écrit x
3 =x(x
2 +1)−x,
donc f (x) = x − x
x
2 + 1
et
t
3
t
2 + 1
dt = x
2
2
− 1
2
ln(x
2 + 1).
322 – CALCUL DE PRIMITIVES