5.2 Intégrales de la forme
e
at cos bt dt ou
e
at sin bt dt
Introduisons les nombres complexes
e
at cos bt + i e
at sin bt = e
at (cos bt + i sin bt) = e
at e
i bt = e
(a+b i)t
et étendons le calcul des dérivées et des intégrales aux fonctions à valeurs complexes.
Une fonction à valeurs complexes est de la forme F (x) = U (x) + i V (x), où U (x)
et V (x) sont des fonctions à valeurs réelles. Définissons la dérivée de F en posant
F
(x) = U
(x) + i V
(x) , si U et V sont dérivables.
Proposition. Si λ est un nombre complexe, la dérivée de la fonction x → e
λx est λe
λx .
Démonstration. Posons λ = a + b i, où a et b sont réels, et f (x) = e
λx = e
(a+i b)x =
e
ax cos bx + i e
ax sin bx. En dérivant, il vient
f
(x) = ae
ax cos bx − be
ax sin bx + i(ae
ax sin bx + be
ax cos bx)
= e
ax
(a cos bx − b sin bx) + i(a sin bx + b cos bx)
= e
ax (a + b i)(cos bx + i sin bx) = (a + b i)e
ax e
i bx = (a + b i)e
(a+i b)x = λe
λx .
Une exponentielle se dérive donc de la même manière, que l’exposant soit réel ou
complexe. On en déduit que si λ = 0, la fonction x → 1
λ
e
λx est une primitive de e
λx :
e
(a+b i)t dt =
1
a + b i
e
(a+b i)x
En posant u(x) = e
ax cos bx et v(x) = e
ax sin bx, il vient donc
u(t) dt + i
v(t) dt =
1
a + b i
e
(a+b i)x =
a − b i
a
2 + b
2
e
ax (cos bx + i sin bx)
= e
ax
a
2 + b
2
(a cos bx + b sin bx) + (−b cos bx + a sin bx) i
e
at cos bt dt =
e
ax (a cos bx + b sin bx)
a
2 + b
2
,
e
at sin bt dt =
e
ax (−b cos bx + a sin bx)
a
2 + b
2
5.3 Intégrale d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est de la forme
P (x)
Q(x)
, où P et Q sont des fonctions
polynômes. Contentons-nous de traiter les cas les plus couramment rencontrés.
1. Q(x) = (x − a) n . Dans l’intégrale
P (t)
(t − a)
n dt, on fait le changement de
variable u = t − a, donc du = dt et
P (t)
(t − a)
n dt =
P (u + a)
u
n
du. Puisque P est un
polynôme,
P (u + a)
u
n
est une somme de puissances positives ou négatives de u.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 321