Changement de variable
Supposons que f (t) s’écrit f (t) = g
u(t)
u
(t), où g est une certaine fonction. Alors
si G est une primitive de g, la dérivée de t → G
u(t)
est g
u(t)
u
(t) = f (t), donc
f (t) dt =
g
u(t)
u
(t) dt = G
u(x)
Pratiquement : pour faire le changement de variable u(t) dans l’intégrale,
® on écrit f (t) sous la forme g(u),
® on calcule du = u
(t) dt et l’on a alors
f (t) dt =
g(u) du.
Exemples
1) Calculons ainsi l’intégrale
(cos t)
n (sin t)
m dt lorsque les exposants sont entiers
positifs et que l’un d’eux, n par exemple, est impair. Posons n = 2p+1 et faisons
le changement de variable u = sin t. On a du = cos t dt et
(cos t)
2p+1 (sin t)
m dt = (cos t)
2p (sin t)
m (cos t dt) = (1 − u
2 )
p u
m du .
Intégrons en indiquant en haut du signe intégrale le nom de la variable à utiliser
dans la primitive :
x
(cos t)
n (sin t)
m dt =
sin x
(1 − u
2 )
p u
m du
La dernière intégrale est facile à calculer car il s’agit d’une primitive de fonction
polynôme. Il ne faut pas oublier d’y remplacer finalement u par sin x.
Par exemple, on a
x
(cos t)
3 (sin t)
4 dt =
x
(cos t)
2 (sin t)
4 cos tdt
=
sin x
(1 − u
2 ) u
4 du =
(u
4
− u
6 ) du
= u
5
5
− u
7
7
=
(sin x)
5
5
−
(sin x)
7
7
.
2) ® Calculons
te
−t
2 dt par le changement de variable u = t
2 . Puisque du = 2t dt,
on a
x
e
−t
2 (t dt) = 1
2
x
2
e
−u du, donc
x
te
−t
2 dt = − 1
2
e
−x
2
et
b
a
te
−t
2 dt =
e
−a
2 −e
−b
2
2
® De même,
x
t
3 e
−t
2 dt= 1
2
x
t
2 e
−t
2 (2t dt)= 1
2
x
2
ue
−u du, et en intégrant par parties :
x
t
3 e
−t
2 dt = 1
2
u(−e
−u ) − 1
2
−e
−u du = −
x
2 +1
2
e
−x
2 .
320 – CALCUL DE PRIMITIVES