Intégration par parties
La formule d’intégration par parties s’écrit
u(t)v
(t) dt = u(x)v(x) −
u
(t)v(t) dt.
Elle est valable pour des fonctions u et v à dérivée continue et signifie simplement
que la dérivée du produit uv est u
v + uv
. Avec des bornes dans les intégrales, la
formule devient b
a
u(t)v
(t) dt =
u(x)v(x)
b
a
−
b
a
u
(t)v(t) dt .
Par intégration par parties, on peut calculer des intégrales comme
t
2 e
at dt,
t
3 ln t dt,
arcsin t dt ou
arctan t dt.
Exemples
1) Dans l’intégrale I n =
t
n e
at dt (où a = 0), posons u = t
n et v
= e
at . Il vient
u
= nt
n−1 , v = 1
a
e
at , donc
I n = x
n 1
a
e
ax
−
nt
n−1 1
a
e
at dt = x
n e
ax
a
− n
a
I n−1
Si n est un entier positif, le calcul de I n se ramène de proche en proche à celui
de I 0 =
e
at dt = e
ax
a
. On a ainsi I 1 =
ax − 1
a
2
e
ax et I 2 =
a
2 x
2 − 2ax + 2
a
3
e
ax .
2) Pour I =
t
3 ln t dt, on prend u = ln t et v
= t
3 , donc u
= 1/t et v = t
4 /4 ; il
vient I = (ln x) x
4
4
−
1
t
t
4
4
dt = x
4 ln x
4
− 1
4
t
3 dt = x
4 ln x
4
− x
4
16
.
3) Calculons le nombre
1
0
Arc sin t dt en prenant u = Arc sin t et v
= 1, donc v = t
et u
=
1
√
1 − t 2
. On a
Arc sin t dt = x Arc sin x −
t
√
1 − t 2
dt.
x
y
O
= y
Arc sin x
=
x sin y
π
2
1
Dans cette dernière intégrale, le numérateur est, à un facteur −1/2 près, la dérivée
de w = 1 − t
2 :
t
1 − t 2
=
2t
2
1 − t 2
= − w
2
√
w
= −(
√
w)
On en déduit
Arc sin t dt = x Arc sin x +
√
1 − x 2 et
1
0
Arc sin t dt =
x Arc sin x
1
0
+
1 − x 2
1
0
=
π
2
− 0
+ (0 − 1) = π
2
− 1 .
Le dessin ci-contre montre le graphe de Arc sinus et
nous venons de calculer l’aire grisée. L’aire comprise
entre le graphe et l’axe des ordonnées est
π/2
0
sin t dt=
1 et l’aire totale du rectangle est bien (π/2−1)+1=π/2.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 319
La formule d’intégration par parties s’écrit
u(t)v
(t) dt = u(x)v(x) −
u
(t)v(t) dt.
Elle est valable pour des fonctions u et v à dérivée continue et signifie simplement
que la dérivée du produit uv est u
v + uv
. Avec des bornes dans les intégrales, la
formule devient b
a
u(t)v
(t) dt =
u(x)v(x)
b
a
−
b
a
u
(t)v(t) dt .
Par intégration par parties, on peut calculer des intégrales comme
t
2 e
at dt,
t
3 ln t dt,
arcsin t dt ou
arctan t dt.
Exemples
1) Dans l’intégrale I n =
t
n e
at dt (où a = 0), posons u = t
n et v
= e
at . Il vient
u
= nt
n−1 , v = 1
a
e
at , donc
I n = x
n 1
a
e
ax
−
nt
n−1 1
a
e
at dt = x
n e
ax
a
− n
a
I n−1
Si n est un entier positif, le calcul de I n se ramène de proche en proche à celui
de I 0 =
e
at dt = e
ax
a
. On a ainsi I 1 =
ax − 1
a
2
e
ax et I 2 =
a
2 x
2 − 2ax + 2
a
3
e
ax .
2) Pour I =
t
3 ln t dt, on prend u = ln t et v
= t
3 , donc u
= 1/t et v = t
4 /4 ; il
vient I = (ln x) x
4
4
−
1
t
t
4
4
dt = x
4 ln x
4
− 1
4
t
3 dt = x
4 ln x
4
− x
4
16
.
3) Calculons le nombre
1
0
Arc sin t dt en prenant u = Arc sin t et v
= 1, donc v = t
et u
=
1
√
1 − t 2
. On a
Arc sin t dt = x Arc sin x −
t
√
1 − t 2
dt.
x
y
O
= y
Arc sin x
=
x sin y
π
2
1
Dans cette dernière intégrale, le numérateur est, à un facteur −1/2 près, la dérivée
de w = 1 − t
2 :
t
1 − t 2
=
2t
2
1 − t 2
= − w
2
√
w
= −(
√
w)
On en déduit
Arc sin t dt = x Arc sin x +
√
1 − x 2 et
1
0
Arc sin t dt =
x Arc sin x
1
0
+
1 − x 2
1
0
=
π
2
− 0
+ (0 − 1) = π
2
− 1 .
Le dessin ci-contre montre le graphe de Arc sinus et
nous venons de calculer l’aire grisée. L’aire comprise
entre le graphe et l’axe des ordonnées est
π/2
0
sin t dt=
1 et l’aire totale du rectangle est bien (π/2−1)+1=π/2.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 319