Décomposer en somme
C’est ainsi que l’on peut calculer les intégrales
(cos t)
n dt et
(sin t)
n dt pour n entier
positif. Par exemple, grâce à la formule cos 2x = 2(cos x)
2
− 1 = 1 − 2(sin x)
2 , il vient
2
(cos t)
2 dt =
(1 + cos 2t) dt = x +
cos 2t dt = x + 1
2
sin 2x
Nous allons voir que (cos x)
n est une somme de fonctions cos kx, où les nombres
k qui interviennent sont des entiers positifs ou nuls au plus égaux à n. De même,
(sin x)
n est une somme de fonctions sin kx.
Faisons un calcul dans les nombres complexes en introduisant z = e
i x = cosx + isinx.
Puisque z
−1 = e
− i x = cos x − i sin x, on a
2 cos x = z + z
−1 et 2 i sin x = z − z
−1 .
En élevant par exemple à la puissance 4 par la formule du binôme (page 61), on obtient
2
4 (cos x)
4 = (z + z
−1 )
4 = z
4 +
4
1
z
3 z
−1 +
4
2
z
2 z
−2 +
4
3
zz
−3 + z
−4
= z
4 + 4z
2 + 6 + 4z
−2 + z
−4 = (z
4 + z
−4 ) + 4(z
2 + z
−2 ) + 6
D’après la formule de Moivre (page 37), z
2 = cos2x + isin2x et z
−2 = cos2x − isin2x,
donc z
2 + z
−2 = 2 cos 2x. De même, z
4 + z
−4 = 2 cos 4x, donc il vient 2
4 (cos x)
4 =
2 cos 4x + 8 cos 2x + 6, ou encore
(1)
(cos x)
4 = 1
8
cos 4x + 1
2
cos 2x + 3
8
En intégrant, on obtient
(cos t)
4 dt = 1
8
cos 4t dt + 1
2
cos 2t dt + 3
8
x = sin 4x
32
+ sin 2x
4
+ 3x
8
Pour l’intégrale de (sin x)
3 , écrivons (z − z
−1 )
3 = (2 i sin x)
3 = −2
3 i(sin x)
3 , puis
−8 i(sin x)
3 = z
3
− 3z
2 z
−1 + 3zz
−2
− z
−3 = z
3
− 3z + 3z
−1
− z
−3
= (z
3
− z
−3 ) − 3(z − z
−1 )
Puisque z
3 =cos3x+isin3x et z
−3 =cos3x−isin3x, on a −8i(sinx)
3 =2isin3x−3(2isinx),
d’où
(2)
(sin x)
3 = − sin 3x
4
+ 3 sin x
4
,
(sin t)
3 dt = cos 3x
12
− 3 cos x
4
et
π/2
0
(sin t)
3 dt =
cos 3x
12
− 3 cos x
4
π/2
0
= 2/3.
Des identités comme (1) ou (2) s’appellent des formules de linéarisation. Elles permettent
d’exprimer (sinx)
n (cosx)
m comme une somme de produits sinpxcosqx. Puisqu’on a
2 sin px cos qx = sin(p + q)x + sin(p − q)x ,
on peut ainsi en principe calculer une primitive d’un produit (sin x)
n (cos x)
m .
318 – CALCUL DE PRIMITIVES