dx
ds
= cos ϕ = cos
(a/2v
2 )s
2
et
dy
ds
= sin ϕ = sin
(a/2v
2 )s
2
En intégrant, on trouve les fonctions coordonnées x(s) et y(s) de la courbe. Puisque
x = y = 0 quand s = 0, on obtient ainsi la paramétrisation
x(s) =
s
0
cos
(a/2v
2 )u
2
du et y(s) =
s
0
sin
(a/2v
2 )u
2
du
x
y
O
une spirale de Cornu
En général, on impose l’angle ϕ max dont la courbe permet de tourner, ou bien son
rayon de courbure R max à l’extrémité. La longueur L de l’arc est alors donnée par
les relations ϕ max = (a/2v
2 )L
2 ou R max L = v
2 /a. L’extrémité A
de la bretelle de raccordement a donc une position déterminée,
de coordonnées de x(L), y(L).
Ces intégrales (dites de Fresnel) ne s’expriment pas au moyen
des fonctions usuelles ; pour dessiner la courbe, appelée spirale
de Cornu, il faut faire un calcul numérique approché de x(s) et
y(s) (voir le chapitre 11).
5. Calcul de primitives
Il est utile de savoir calculer quelques types courants d’intégrales. Rappelons les
règles essentielles :
®
b
a
f (t) dt = F (b) − F (a) si F est une primitive de f .
® Si α et β sont des constantes,
αf (t) + βg(t)
dt = α
f (t) dt + β
g(t) dt.
5.1 Méthodes générales
On dispose de quatre méthodes générales pour calculer une intégrale I =
f (t) dt.
La fonction à intégrer est une dérivée connue
Exemples
1)
(at + b)
α dt =
1
a(α+1)
(ax + b)
α+1 si α = −1 et a = 0.
La dérivée de (ax + b)
α+1 est en effet a(α+1)(ax + b)
α .
2)
tan t dt =
sin t
cos t
dt =
− cos
(t)
cos t
dt = − ln
cos x
. On en déduit par exemple
π/4
0
tan t dt =
− ln cos x
π/4
0
= (ln 2)/2.
3) On a
(tan t)
2 dt = tan x − x, car la dérivée de tan x est 1 + (tan x)
2 .
4) I =
t
√
a + t 2
dt =
2t
2
√
a + t 2
dt =
u
(t)
2
u(t)
dt, où u(x) = a + x
2 . La fonction sous
le signe intégrale est la dérivée de
u(x), donc I =
√
a + x 2 .
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 317