Cas d'une courbe y = f (x)
Chaque point du graphe de f a pour coordonnées
x, f (x)
, donc est repéré par
son abscisse : le graphe d’une fonction de x est une courbe paramétrée par x.
® Si f a une dérivée continue, le vecteur tangent au point M (x) a pour coordonnées
dx
dx
= 1,
dy
dx
= f
(x) et l’on a ds
dx
=
1 + f (x) 2 .
® Si f
(x) = 0, le rayon de courbure en M (x) est
1 + f
(x)
2
3/2
f
(x)
.
® Si f
(x) = 0, la courbure en M (x) est nulle.
On voit que la courbure ne dépend que des deux premières dérivées de f .
4.2 Application aux bretelles de raccordement
Il s’agit de trouver la forme d’une voie routière de raccordement entre une ligne
droite (courbure nulle) et un arc ayant une courbure non nulle. Ce problème se pose
pour le tracé d’une ligne ferroviaire ou d’une sortie d’autoroute : si en sortant d’une
ligne droite, on emprunte immédiatement une trajectoire de rayon de courbure R,
l’accélération normale d’un véhicule roulant à la vitesse v passe brutalement de 0 à
v
2 /R, ce que l’on cherche à éviter.
Dans le cadre autoroutier, on suppose habituellement que pendant le changement de
direction, le conducteur roule à une vitesse constante v et imprime au volant une
rotation régulière, de sorte que l’angle de braquage des roues est proportionnel à la
durée du mouvement.
® Entre des instants voisins t et t + dt, le véhicule a tourné d’un angle dϕ = αdt,
où α est proportionnel à l’angle de braquage.
®
x
y
O
M
A
ϕ
ϕ max
En prenant comme instant initial t = 0 celui où le
véhicule quitte la ligne droite (point O), on a alors
α = at, où a est une constante positive, donc
dϕ
dt
= at.
® Notons s l’abscisse curviligne de la courbe comptée
à partir du point O (s = 0 si t = 0). La vitesse du
véhicule à l’instant t est ds
dt
= v, donc s = vt.
En tout point de la courbe, la courbure est K =
dϕ
ds
=
dϕ
dt
dt
ds
= at
v
= a
v
2
s ; cette valeur
est nulle à l’instant initial et varie proportionnellement à la distance parcourue. En
notant R = 1/K le rayon de courbure, il vient
Rs = v
2 /a
Cette relation caractéristique de la courbe exprime que le rayon de courbure est
inversement proportionnel à la distance parcourue.
Prenons un repère orthonormé d’origine O, l’axe Ox étant la ligne droite et l’axe
Oy étant dirigé vers la sortie. L’angle ϕ entre Ox et le vecteur tangent à la courbe
est l’angle dont a tourné le véhicule. Puisque
dϕ
ds
= a
v
2
s, il vient ϕ = a
2v
2
s
2 , d’où
316 – COURBES PARAM ´
ETR ´
EES
Chaque point du graphe de f a pour coordonnées
x, f (x)
, donc est repéré par
son abscisse : le graphe d’une fonction de x est une courbe paramétrée par x.
® Si f a une dérivée continue, le vecteur tangent au point M (x) a pour coordonnées
dx
dx
= 1,
dy
dx
= f
(x) et l’on a ds
dx
=
1 + f (x) 2 .
® Si f
(x) = 0, le rayon de courbure en M (x) est
1 + f
(x)
2
3/2
f
(x)
.
® Si f
(x) = 0, la courbure en M (x) est nulle.
On voit que la courbure ne dépend que des deux premières dérivées de f .
4.2 Application aux bretelles de raccordement
Il s’agit de trouver la forme d’une voie routière de raccordement entre une ligne
droite (courbure nulle) et un arc ayant une courbure non nulle. Ce problème se pose
pour le tracé d’une ligne ferroviaire ou d’une sortie d’autoroute : si en sortant d’une
ligne droite, on emprunte immédiatement une trajectoire de rayon de courbure R,
l’accélération normale d’un véhicule roulant à la vitesse v passe brutalement de 0 à
v
2 /R, ce que l’on cherche à éviter.
Dans le cadre autoroutier, on suppose habituellement que pendant le changement de
direction, le conducteur roule à une vitesse constante v et imprime au volant une
rotation régulière, de sorte que l’angle de braquage des roues est proportionnel à la
durée du mouvement.
® Entre des instants voisins t et t + dt, le véhicule a tourné d’un angle dϕ = αdt,
où α est proportionnel à l’angle de braquage.
®
x
y
O
M
A
ϕ
ϕ max
En prenant comme instant initial t = 0 celui où le
véhicule quitte la ligne droite (point O), on a alors
α = at, où a est une constante positive, donc
dϕ
dt
= at.
® Notons s l’abscisse curviligne de la courbe comptée
à partir du point O (s = 0 si t = 0). La vitesse du
véhicule à l’instant t est ds
dt
= v, donc s = vt.
En tout point de la courbe, la courbure est K =
dϕ
ds
=
dϕ
dt
dt
ds
= at
v
= a
v
2
s ; cette valeur
est nulle à l’instant initial et varie proportionnellement à la distance parcourue. En
notant R = 1/K le rayon de courbure, il vient
Rs = v
2 /a
Cette relation caractéristique de la courbe exprime que le rayon de courbure est
inversement proportionnel à la distance parcourue.
Prenons un repère orthonormé d’origine O, l’axe Ox étant la ligne droite et l’axe
Oy étant dirigé vers la sortie. L’angle ϕ entre Ox et le vecteur tangent à la courbe
est l’angle dont a tourné le véhicule. Puisque
dϕ
ds
= a
v
2
s, il vient ϕ = a
2v
2
s
2 , d’où
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