s(t) = Rt, donc la courbure en M est
dϕ
ds
=
d(t + π/2)
Rdt
= 1
R
. Le rayon de courbure
en un point d’un cercle est donc le rayon du cercle.
Calcul de la courbure. Notons
− →
T = d
− − − →
OM
ds
le vecteur tangent unitaire au point
M . Puisque le repère est orthonormé, il s’écrit
− →
T = cos ϕ
→
i + sin ϕ
→
j , où ϕ est l’angle
→
i,
− →
T . On a donc
dx
ds
= cos ϕ et
dy
ds
= sin ϕ
Le vecteur
− − →
N = cos(ϕ + π/2)
→
i + sin(ϕ + π/2)
→
j = − sin ϕ
→
i + cos ϕ
→
j , orthogonal à
− →
T ,
s’appelle le vecteur normal en M .
® Le vecteur normal
− − →
N est de norme 1 et la base
− →
T ,
− − →
N
est orthonormée directe.
® La droite passant par M et orientée selon
− − →
N s’appelle la normale principale ; elle
est orthogonale à la courbe en M .
Dérivons le vecteur
− →
T par rapport à s. Il vient
d
− →
T
ds
= (− sin ϕ)
dϕ
ds
→
i +(cos ϕ)
dϕ
ds
→
j =
dϕ
ds
− − →
N
Par définition de la courbure, on en déduit :
la courbure en M est le nombre K tel que d
− →
T
ds
= K
− − →
N
x
y
O
M
P
→
i
→
j
d
− →
T
ds
d
− →
T
ds
− →
T
− →
N
− →
N
− →
T
Ainsi, la courbure en M est la mesure algébrique du vecteur
d
→
T
ds
sur la normale principale.
Le vecteur d
→
T
ds
est toujours dirigé vers l’intérieur de la courbe.
Si la courbure en M est positive, le vecteur normal pointe luiaussi vers l’intérieur de la courbe ; si la courbure est négative,
le vecteur normal pointe vers l’extérieur.
Sur la figure, la courbure est négative en M et positive en P .
Exemple. Dans le cas de la cycloïde, on a d
− − − →
OM
dθ
= r(1−cosθ)
→
i+rsinθ
→
j et en supposant 0 < θ < 2π, on sait que ds = 2r sin(θ/2) dθ. Calculons le vecteur tangent unitaire.
− →
T = d
− − − − − − − →
OM
ds
= d
− − − − − − − →
OM
dθ
dθ
ds
=
r(1 − cos θ)
2r sin(θ/2)
→
i + r sin θ
2r sin(θ/2)
→
j = sin(θ/2)
→
i + cos(θ/2)
→
j
Le vecteur normal est
− − →
N = − cos(θ/2)
→
i + sin(θ/2)
→
j et
d
− →
T
ds
= d
− →
T
dθ
dθ
ds
=
1
2
cos(θ/2)
→
i − 1
2
sin(θ/2)
→
j
1
2r sin(θ/2)
= −
1
4r sin(θ/2)
− − →
N
Au point M (θ), la cycloïde a pour courbure K = −
1
4r sin(θ/2)
. La courbure est
minimum au sommet de l’arche (θ = π). Remarquons qu’en un point d’ordonnée
quelconque y = r(1− cos θ) > 0, la courbure est K = −1/
√
8ry.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 315
dϕ
ds
=
d(t + π/2)
Rdt
= 1
R
. Le rayon de courbure
en un point d’un cercle est donc le rayon du cercle.
Calcul de la courbure. Notons
− →
T = d
− − − →
OM
ds
le vecteur tangent unitaire au point
M . Puisque le repère est orthonormé, il s’écrit
− →
T = cos ϕ
→
i + sin ϕ
→
j , où ϕ est l’angle
→
i,
− →
T . On a donc
dx
ds
= cos ϕ et
dy
ds
= sin ϕ
Le vecteur
− − →
N = cos(ϕ + π/2)
→
i + sin(ϕ + π/2)
→
j = − sin ϕ
→
i + cos ϕ
→
j , orthogonal à
− →
T ,
s’appelle le vecteur normal en M .
® Le vecteur normal
− − →
N est de norme 1 et la base
− →
T ,
− − →
N
est orthonormée directe.
® La droite passant par M et orientée selon
− − →
N s’appelle la normale principale ; elle
est orthogonale à la courbe en M .
Dérivons le vecteur
− →
T par rapport à s. Il vient
d
− →
T
ds
= (− sin ϕ)
dϕ
ds
→
i +(cos ϕ)
dϕ
ds
→
j =
dϕ
ds
− − →
N
Par définition de la courbure, on en déduit :
la courbure en M est le nombre K tel que d
− →
T
ds
= K
− − →
N
x
y
O
M
P
→
i
→
j
d
− →
T
ds
d
− →
T
ds
− →
T
− →
N
− →
N
− →
T
Ainsi, la courbure en M est la mesure algébrique du vecteur
d
→
T
ds
sur la normale principale.
Le vecteur d
→
T
ds
est toujours dirigé vers l’intérieur de la courbe.
Si la courbure en M est positive, le vecteur normal pointe luiaussi vers l’intérieur de la courbe ; si la courbure est négative,
le vecteur normal pointe vers l’extérieur.
Sur la figure, la courbure est négative en M et positive en P .
Exemple. Dans le cas de la cycloïde, on a d
− − − →
OM
dθ
= r(1−cosθ)
→
i+rsinθ
→
j et en supposant 0 < θ < 2π, on sait que ds = 2r sin(θ/2) dθ. Calculons le vecteur tangent unitaire.
− →
T = d
− − − − − − − →
OM
ds
= d
− − − − − − − →
OM
dθ
dθ
ds
=
r(1 − cos θ)
2r sin(θ/2)
→
i + r sin θ
2r sin(θ/2)
→
j = sin(θ/2)
→
i + cos(θ/2)
→
j
Le vecteur normal est
− − →
N = − cos(θ/2)
→
i + sin(θ/2)
→
j et
d
− →
T
ds
= d
− →
T
dθ
dθ
ds
=
1
2
cos(θ/2)
→
i − 1
2
sin(θ/2)
→
j
1
2r sin(θ/2)
= −
1
4r sin(θ/2)
− − →
N
Au point M (θ), la cycloïde a pour courbure K = −
1
4r sin(θ/2)
. La courbure est
minimum au sommet de l’arche (θ = π). Remarquons qu’en un point d’ordonnée
quelconque y = r(1− cos θ) > 0, la courbure est K = −1/
√
8ry.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 315