Il vient alors
dx
ds
2
+
dy
ds
2
=
x
(t)
2 + y
(t)
2
dt
ds
2
= 1
Avec l’abscisse curviligne comme paramètre, le vecteur tangent est
d
− − − − − − − →
OM
ds
= dx
ds
→
i +
dy
ds
→
j
Puisqu’on a supposé que le repère est orthonormé, le carré de la norme euclidienne
est la somme des carrés des coordonnées ; d’après la formule précédente, on a donc
d
− − − − − − − →
OM
ds
= 1
Le vecteur d
− − − →
OM
ds
s’appelle le vecteur tangent unitaire.
Courbure
On mesure la courbure d’un arc de courbe
MM
en comparant l’angle α fait par
les tangentes en M et M
avec la longueur L de l’arc : la courbure moyenne de
l’arc est par définition le rapport α/L.
M
→
i
ϕ
ϕ
M
D’après nos hypothèses, la courbe possède en tout point M (t) un vecteur tangent
d
− − − →
OM
dt
. Notons ϕ l’angle entre l’axe Ox et la tangente en M , plus précisément l’écart
angulaire des vecteurs
→
i, d
− − − →
OM
dt
(t) (définition page 225).
Si M
= M (t
) est un autre point de la courbe, l’angle des vecteurs
→
i, d
− − − →
OM
dt
(t
) est ϕ
et l’angle des tangentes est ϕ
− ϕ.
Choisissons un point M 0 de la courbe comme origine des arcs :
les arcs
M 0 M et
M 0 M
ont des longueurs s et s
, la longueur de l’arc
MM
est s
− s
et sa courbure moyenne est
ϕ
− ϕ
s
− s
. Quand M
tend vers M , la courbure moyenne a
donc pour limite
dϕ
ds
, si cette limite existe.
Supposons que les fonctions x(t) et y(t) sont deux fois dérivables.
Définitions
La courbure au point M est K =
dϕ
ds
, où ϕ est l’écart angulaire des vecteurs
→
i, d
− − − →
OM
ds
. Si la courbure en M n’est pas nulle, le nombre 1/|K| s’appelle le rayon
de courbure en M .
Intuitivement, une courbure nulle en un point correspond à un « rayon de courbure
infini », c’est-à-dire à un arc « plat » en ce point.
Exemple. Dans le cas d’un cercle de rayon R centré à l’origine (exemple 2 page
310), la tangente au point M de coordonnées (x, y) = (R cos t, R sin t) fait l’angle
ϕ = t + π/2 avec l’axe Ox. En choisissant M (0) comme origine des arcs, on a
314 – COURBES PARAM ´
ETR ´
EES
dx
ds
2
+
dy
ds
2
=
x
(t)
2 + y
(t)
2
dt
ds
2
= 1
Avec l’abscisse curviligne comme paramètre, le vecteur tangent est
d
− − − − − − − →
OM
ds
= dx
ds
→
i +
dy
ds
→
j
Puisqu’on a supposé que le repère est orthonormé, le carré de la norme euclidienne
est la somme des carrés des coordonnées ; d’après la formule précédente, on a donc
d
− − − − − − − →
OM
ds
= 1
Le vecteur d
− − − →
OM
ds
s’appelle le vecteur tangent unitaire.
Courbure
On mesure la courbure d’un arc de courbe
MM
en comparant l’angle α fait par
les tangentes en M et M
avec la longueur L de l’arc : la courbure moyenne de
l’arc est par définition le rapport α/L.
M
→
i
ϕ
ϕ
M
D’après nos hypothèses, la courbe possède en tout point M (t) un vecteur tangent
d
− − − →
OM
dt
. Notons ϕ l’angle entre l’axe Ox et la tangente en M , plus précisément l’écart
angulaire des vecteurs
→
i, d
− − − →
OM
dt
(t) (définition page 225).
Si M
= M (t
) est un autre point de la courbe, l’angle des vecteurs
→
i, d
− − − →
OM
dt
(t
) est ϕ
et l’angle des tangentes est ϕ
− ϕ.
Choisissons un point M 0 de la courbe comme origine des arcs :
les arcs
M 0 M et
M 0 M
ont des longueurs s et s
, la longueur de l’arc
MM
est s
− s
et sa courbure moyenne est
ϕ
− ϕ
s
− s
. Quand M
tend vers M , la courbure moyenne a
donc pour limite
dϕ
ds
, si cette limite existe.
Supposons que les fonctions x(t) et y(t) sont deux fois dérivables.
Définitions
La courbure au point M est K =
dϕ
ds
, où ϕ est l’écart angulaire des vecteurs
→
i, d
− − − →
OM
ds
. Si la courbure en M n’est pas nulle, le nombre 1/|K| s’appelle le rayon
de courbure en M .
Intuitivement, une courbure nulle en un point correspond à un « rayon de courbure
infini », c’est-à-dire à un arc « plat » en ce point.
Exemple. Dans le cas d’un cercle de rayon R centré à l’origine (exemple 2 page
310), la tangente au point M de coordonnées (x, y) = (R cos t, R sin t) fait l’angle
ϕ = t + π/2 avec l’axe Ox. En choisissant M (0) comme origine des arcs, on a
314 – COURBES PARAM ´
ETR ´
EES