En notant ds la différentielle de la longueur de l’arc, il vient
ds =
x (t) 2 + y (t) 2 dt
Cette relation entre les différentielles ds et dt s’écrit ds
dt
=
x (t) 2 + y (t) 2 : elle
exprime la dérivée de la longueur d’un arc.
On démontre que ce raisonnement par infiniments petits est valable pour une courbe
régulière dont le vecteur tangent dépend continûment du paramètre. Dans la suite,
nous supposerons toujours qu’il en est ainsi.
Définition
Choisissons un point M 0 = M (t 0 ) de la courbe comme origine des arcs. Pour
tout point M = M (t), la longueur s(t) de l’arc
M 0 M a pour dérivée ds
dt
=
x (t) 2 + y (t) 2 . Pour tout point M 1 = M (t 1 ), la longueur de l’arc
M 0 M 1 est donc
s(t 1 ) =
t 1
t 0
x (t) 2 + y (t) 2 dt.
La longueur de l’arc est comptée positivement si t 1 > t 0 , négativement si t 1 < t 0 .
Exemple : longueur d'une arche de cycloïde. Puisque nous avons choisi un
repère orthonormé pour calculer les fonctions coordonnées de la cycloïde, on a
x
(θ)
2 + y
(θ)
2 = r
2 (1 − cos θ)
2 + r
2 (sin θ)
2 = 2r
2 (1 − cos θ) = 4r
2
sin(θ/2)
2
ds
dθ
=
x (θ) 2 + y (θ) 2 = 2r sin(θ/2) , pour 0 θ 2π.
Prenons le point O (t 0 = 0) comme origine des arcs. Si M (θ) est un point de l’arche
OA (figure page 312), alors θ est entre 0 et 2π et la longueur de l’arc
OM (θ) est
s(θ) = 2r
θ
0
sin(u/2) du = 2r
−2 cos(u/2)
θ
0
= 4r
1 − cos(θ/2)
Pour θ = 2π, on trouve que la longueur de l’arche
OA est 8r.
L'abscisse curviligne
Il est naturel de paramétrer les points M de la courbe par la longueur s de l’arc
M 0 M . Cela est possible, car la fonction longueur est strictement croissante (nous
avons supposé que x
(t) et y
(t) ne sont jamais nuls en même temps, donc ds
dt
est
strictement positif). Ainsi s et t sont fonctions l’un de l’autre et les coordonnées x
et y des points de la courbe sont aussi des fonctions de s. On dit que le paramètre
s est l’abscisse curviligne de la courbe.
On dérive les coordonnées par rapport à l’abscisse curviligne au moyen des formules
dx
ds
= dx
dt
dt
ds
et
dy
ds
=
dy
dt
dt
ds
, où dt
ds
=
ds
dt
−1
=
x
(t)
2 + y
(t)
2
−1/2
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 313
ds =
x (t) 2 + y (t) 2 dt
Cette relation entre les différentielles ds et dt s’écrit ds
dt
=
x (t) 2 + y (t) 2 : elle
exprime la dérivée de la longueur d’un arc.
On démontre que ce raisonnement par infiniments petits est valable pour une courbe
régulière dont le vecteur tangent dépend continûment du paramètre. Dans la suite,
nous supposerons toujours qu’il en est ainsi.
Définition
Choisissons un point M 0 = M (t 0 ) de la courbe comme origine des arcs. Pour
tout point M = M (t), la longueur s(t) de l’arc
M 0 M a pour dérivée ds
dt
=
x (t) 2 + y (t) 2 . Pour tout point M 1 = M (t 1 ), la longueur de l’arc
M 0 M 1 est donc
s(t 1 ) =
t 1
t 0
x (t) 2 + y (t) 2 dt.
La longueur de l’arc est comptée positivement si t 1 > t 0 , négativement si t 1 < t 0 .
Exemple : longueur d'une arche de cycloïde. Puisque nous avons choisi un
repère orthonormé pour calculer les fonctions coordonnées de la cycloïde, on a
x
(θ)
2 + y
(θ)
2 = r
2 (1 − cos θ)
2 + r
2 (sin θ)
2 = 2r
2 (1 − cos θ) = 4r
2
sin(θ/2)
2
ds
dθ
=
x (θ) 2 + y (θ) 2 = 2r sin(θ/2) , pour 0 θ 2π.
Prenons le point O (t 0 = 0) comme origine des arcs. Si M (θ) est un point de l’arche
OA (figure page 312), alors θ est entre 0 et 2π et la longueur de l’arc
OM (θ) est
s(θ) = 2r
θ
0
sin(u/2) du = 2r
−2 cos(u/2)
θ
0
= 4r
1 − cos(θ/2)
Pour θ = 2π, on trouve que la longueur de l’arche
OA est 8r.
L'abscisse curviligne
Il est naturel de paramétrer les points M de la courbe par la longueur s de l’arc
M 0 M . Cela est possible, car la fonction longueur est strictement croissante (nous
avons supposé que x
(t) et y
(t) ne sont jamais nuls en même temps, donc ds
dt
est
strictement positif). Ainsi s et t sont fonctions l’un de l’autre et les coordonnées x
et y des points de la courbe sont aussi des fonctions de s. On dit que le paramètre
s est l’abscisse curviligne de la courbe.
On dérive les coordonnées par rapport à l’abscisse curviligne au moyen des formules
dx
ds
= dx
dt
dt
ds
et
dy
ds
=
dy
dt
dt
ds
, où dt
ds
=
ds
dt
−1
=
x
(t)
2 + y
(t)
2
−1/2
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 313