la tangente en M (t 0 ) est dirigée par ce vecteur dérivé seconde, s’il n’est pas nul. Plus
généralement, le premier vecteur dérivé non nul en M (t 0 ) donne la direction de la
tangente en ce point.
Exemple. Pour la cycloïde (exemple 3 page 310), on a d
− − − →
OM
dθ
= r(1− cos θ)
→
i +r sin θ
→
j
et ce vecteur dérivé n’est nul que si θ = 2kπ, où k ∈ Z. En tout point M (θ) tel que
θ ∈ 2πZ, la cycloïde a une tangente. Quand θ = π, 3π, etc, la tangente est horizontale,
car sin θ = 0 : cela correspond aux positions hautes du point M .
x
y
A
θ =
θ =
θ =
0
2π
4π
(
)
(
)
θ = π
(
)
θ = 3π
(
)
(
)
Pour θ = 0, 2π, 4π, . . ., le point M est sur D et le vecteur dérivé est nul. Puisque
x
(θ) = r sin θ et y
(θ) = r cos θ, le vecteur dérivé seconde en ces points est r
→
j , donc
la tangente est verticale (points O et A sur la figure). Comme y(θ) est toujours
positif ou nul, ce sont des points de rebroussement : les deux branches de la courbe
y ont la même tangente.
Vecteur vitesse, vecteur accélération. Dans notre exemple, le cercle est en mouvement, donc l’angle θ est une fonction θ(t) du temps. Le vecteur dérivé d
− − − →
OM
dt
s’appelle le vecteur vitesse. En notant ˙
θ = dθ
dt
, on a (dérivée d’une composée)
d
− − − − − − − →
OM
dt
= d
− − − − − − − →
OM
dθ
˙
θ
Ainsi le vecteur vitesse est tangent à la courbe et sa direction indique le sens de
parcours. Le vecteur d
2
− − − →
OM
dt
2
, dérivé seconde par rapport au temps, s’appelle vecteur
accélération.
Longueur d'un arc de courbe
Supposons désormais que le repère (O;
→
i,
→
j) est orthonormé et que les coordonnées
x = x(t) et y = y(t) sont dérivables.
M (t)
M (t + δt)
x
(t)δt
y
(t)δt
approximation
au premier ordre
A partir du point M (t), donnons au paramètre un petit accroissement δt > 0 et approchons l’arc de courbe entre M (t) et M (t + δt)
par le segment de droite M (t)M (t + δt). En négligeant les quantités infiniment petites devant (δt)
2 , les coordonnées de M (t + δt)
sont x(t + δt) = x(t) + x
(t)δt, y(t + δt) = y(t) + y
(t)δt et le carré
de la longueur du segment M (t)M (t + δt) est
x(t + δt) − x(t)
2 +
y(t + δt) − y(t)
2 =
x
(t)δt
2 +
y
(t)δt
2
=
x
(t)
2 + y
(t)
2
(δt)
2
312 – COURBES PARAM ´
ETR ´
EES
généralement, le premier vecteur dérivé non nul en M (t 0 ) donne la direction de la
tangente en ce point.
Exemple. Pour la cycloïde (exemple 3 page 310), on a d
− − − →
OM
dθ
= r(1− cos θ)
→
i +r sin θ
→
j
et ce vecteur dérivé n’est nul que si θ = 2kπ, où k ∈ Z. En tout point M (θ) tel que
θ ∈ 2πZ, la cycloïde a une tangente. Quand θ = π, 3π, etc, la tangente est horizontale,
car sin θ = 0 : cela correspond aux positions hautes du point M .
x
y
A
θ =
θ =
θ =
0
2π
4π
(
)
(
)
θ = π
(
)
θ = 3π
(
)
(
)
Pour θ = 0, 2π, 4π, . . ., le point M est sur D et le vecteur dérivé est nul. Puisque
x
(θ) = r sin θ et y
(θ) = r cos θ, le vecteur dérivé seconde en ces points est r
→
j , donc
la tangente est verticale (points O et A sur la figure). Comme y(θ) est toujours
positif ou nul, ce sont des points de rebroussement : les deux branches de la courbe
y ont la même tangente.
Vecteur vitesse, vecteur accélération. Dans notre exemple, le cercle est en mouvement, donc l’angle θ est une fonction θ(t) du temps. Le vecteur dérivé d
− − − →
OM
dt
s’appelle le vecteur vitesse. En notant ˙
θ = dθ
dt
, on a (dérivée d’une composée)
d
− − − − − − − →
OM
dt
= d
− − − − − − − →
OM
dθ
˙
θ
Ainsi le vecteur vitesse est tangent à la courbe et sa direction indique le sens de
parcours. Le vecteur d
2
− − − →
OM
dt
2
, dérivé seconde par rapport au temps, s’appelle vecteur
accélération.
Longueur d'un arc de courbe
Supposons désormais que le repère (O;
→
i,
→
j) est orthonormé et que les coordonnées
x = x(t) et y = y(t) sont dérivables.
M (t)
M (t + δt)
x
(t)δt
y
(t)δt
approximation
au premier ordre
A partir du point M (t), donnons au paramètre un petit accroissement δt > 0 et approchons l’arc de courbe entre M (t) et M (t + δt)
par le segment de droite M (t)M (t + δt). En négligeant les quantités infiniment petites devant (δt)
2 , les coordonnées de M (t + δt)
sont x(t + δt) = x(t) + x
(t)δt, y(t + δt) = y(t) + y
(t)δt et le carré
de la longueur du segment M (t)M (t + δt) est
x(t + δt) − x(t)
2 +
y(t + δt) − y(t)
2 =
x
(t)δt
2 +
y
(t)δt
2
=
x
(t)
2 + y
(t)
2
(δt)
2
312 – COURBES PARAM ´
ETR ´
EES