Comme on ne peut pas, de façon simple, tirer θ de l’une des équations et reporter
dans l’autre, on étudie les propriétés de la cycloïde au moyen des deux fonctions
θ → x(θ) et θ → y(θ).
4.1 Tangente, longueur, courbure
Tangente en un point d'une courbe paramétrée
Soit M (t) = x(t)
→
i +y(t)
→
j une courbe paramétrée dont les fonctions coordonnées
x(t) et y(t) sont dérivables. Soit t 0 une valeur du paramètre et M (t 0 ) le point
correspondant. Les approximations affines
x(t) = x(t 0 ) + x
(t 0 )(t − t 0 ) + o(t − t 0 )
y(t) = y(t 0 ) + y
(t 0 )(t − t 0 ) + o(t − t 0 )
s’écrivent vectoriellement sous la forme
− − − − − − − − − − − − − →
OM (t) =
− − − − − − − − − − − − − − − →
OM (t 0 ) + (t − t 0 )
x
(t 0 )
y
(t 0 )
+
− − − − − − − − − − − − − − − − →
o(t − t 0 )
où
− − − − − − − − − − − − − − − − →
o(t − t 0 ) désigne un vecteur dont les deux coordonnées sont négligeables devant
t−t 0 quand t tend vers t 0 . On pose
d
− − − − − − − →
OM
dt
(t 0 ) = dx
dt
(t 0 )
→
i +
dy
dt
(t 0 )
→
j = x
(t 0 )
→
i +y
(t 0 )
→
j
Le vecteur d
− − − →
OM
dt
(t 0 ) s’appelle le vecteur dérivé de
− − − − − − − − − − − − − →
OM (t) en t 0
Définitions
Si le vecteur dérivé en t 0 n’est pas nul, on l’appelle vecteur tangent en M (t 0 ) à
la courbe. La tangente en M (t 0 ) est la droite passant par M (t 0 ) et de direction le
vecteur tangent.
Si le vecteur dérivé est toujours non nul, on dit que la courbe est régulière.
x
y
O
M (t 0 )
T
d
− − − →
OM
dt
→
i
→
j
Un point T de coordonnées (x, y) est sur la tangente si et seulement si le vecteur
− − − − − − − − − − − − − − − →
M (t 0 )T est colinéaire au vecteur tangent. En utilisant le déterminant, cela se traduit par det
− − − − − − − − − − − − − − − →
M (t 0 )T , d
− − − →
OM
dt
(t 0 )
=
0, d’où l’équation de la tangente :
x−x(t 0 ) x
(t 0 )
y−y(t 0 ) y
(t 0 )
= 0
Si le vecteur dérivé est nul, on fait une approximation au second ordre en calculant le vecteur dérivé seconde
d
2
− − − − − − →
OM (t)
dt
2
= d
2 x
dt
2
(t 0 )
→
i+
d
2 y
dt
2
(t 0 )
→
j =x
(t 0 )
→
i+y
(t 0 )
→
j . Puisqu’on a alors
x(t) = x(t 0 )+x
(t 0 )(t−t 0 )
2 +o
(t−t 0 )
2
et y(t) = y(t 0 )+y
(t 0 )(t−t 0 )
2 +o
(t−t 0 )
2
,
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 311