4. Courbes paramétrées
Dans un plan muni d’un repère (O;
→
i,
→
j), considérons un point M dont les coordonnées dépendent d’un paramètre t : en notant M (t) la position du point pour la
valeur t du paramètre et x(t), y(t) ses coordonnées, on a donc
− − − − − − − − − − − − − →
OM (t) = x(t)
→
i +y(t)
→
j
Quand t varie dans un intervalle, le point M (t) décrit une courbe, appelée courbe
paramétrée. Les fonctions x(t) et y(t) s’appellent les fonctions coordonnées de la courbe.
Exemple 1. Si les coordonnées x(t) et y(t) sont des fonctions affines, de la forme
x(t) = at + b, y(t) = ct + d avec a = 0 et c = 0, alors M (t) décrit une droite. En effet, en
éliminant t entre les égalités x=at+b et y=ct+d, il vient cx−ay=cb−ad, qui est bien
l’équation d’une droite D. Réciproquement, pour tout point M ∈ D de coordonnées
(x,y), on a a(y − d) = c(x − b), donc en posant t =
x−b
a
, il vient x = at + b et y = ct + d.
Exemple 2 : l'ellipse.
x
y
x(t)
y(t)
M(t)
O
Posons x(t) = acost et y(t) = bsint, où a > 0 et b > 0. Puisqu’on a l’identité (cos t)
2 + (sin t)
2 = 1, l’équation de la courbe
est : (x/a)
2 + (y/b)
2 = 1. À nouveau, pour trouver l’équation,
nous avons éliminé t entre les expressions x(t) et y(t). La
courbe est une ellipse de centre l’origine et d’axes Ox, Oy.
Quand t décrit [0, 2π[, l’ellipse est parcourue une fois ; quand
t décrit R, elle est parcourue une infinité de fois. Si a = b, on
obtient simplement un cercle de rayon a.
Exemple 3 : la cycloïde. Faisons rouler sans glissement un cercle C sur une
droite D. Considérons un point M lié au cercle : au cours du mouvement, la
trajectoire de M est une courbe appelée cycloïde.
x
y
O
C
D
M
θ
r
ω
T
→
i
→
j
Cherchons une équation paramétrique de la cycloïde. Pour cela, prenons comme axe
des abscisses la droite D orientée dans le sens du mouvement et choisissons le repère
orthonormé direct. Pour simplifier, supposons qu’à l’instant
initial, le point de contact du cercle et de la droite est à l’origine.
Le paramètre est l’angle θ dont a tourné le cercle. Notons r le
rayon du cercle, ω son centre et T son point de contact avec D.
Puisque le roulement est sans glissement, la longueur OT est
égale à la longueur rθ de l’arc
T M du cercle. Le point ω décrit
une droite parallèle à D à la distance r : si l’on suppose que C est dans le demi-plan
supérieur, l’ordonnée de ω vaut donc toujours r. On a
− − − − − − − →
OM =
− − − − − →
OT +
− − − − →
T ω +
− − − − − − →
ωM ,
− − − − − →
OT = rθ
→
i,
− − − − →
T ω = r
→
j et
− − − − − − →
ωM = (−r sin θ)
→
i +(−r cos θ)
→
j , donc
− − − − − − − − − − − − − →
OM (t) = r(θ − sin θ)
→
i +r(1 − cos θ)
→
j
Les fonctions coordonnées sont x(θ) = r(θ − sin θ), y(θ) = r(1 − cos θ).
310 – COURBES PARAM ´
ETR ´
EES
Dans un plan muni d’un repère (O;
→
i,
→
j), considérons un point M dont les coordonnées dépendent d’un paramètre t : en notant M (t) la position du point pour la
valeur t du paramètre et x(t), y(t) ses coordonnées, on a donc
− − − − − − − − − − − − − →
OM (t) = x(t)
→
i +y(t)
→
j
Quand t varie dans un intervalle, le point M (t) décrit une courbe, appelée courbe
paramétrée. Les fonctions x(t) et y(t) s’appellent les fonctions coordonnées de la courbe.
Exemple 1. Si les coordonnées x(t) et y(t) sont des fonctions affines, de la forme
x(t) = at + b, y(t) = ct + d avec a = 0 et c = 0, alors M (t) décrit une droite. En effet, en
éliminant t entre les égalités x=at+b et y=ct+d, il vient cx−ay=cb−ad, qui est bien
l’équation d’une droite D. Réciproquement, pour tout point M ∈ D de coordonnées
(x,y), on a a(y − d) = c(x − b), donc en posant t =
x−b
a
, il vient x = at + b et y = ct + d.
Exemple 2 : l'ellipse.
x
y
x(t)
y(t)
M(t)
O
Posons x(t) = acost et y(t) = bsint, où a > 0 et b > 0. Puisqu’on a l’identité (cos t)
2 + (sin t)
2 = 1, l’équation de la courbe
est : (x/a)
2 + (y/b)
2 = 1. À nouveau, pour trouver l’équation,
nous avons éliminé t entre les expressions x(t) et y(t). La
courbe est une ellipse de centre l’origine et d’axes Ox, Oy.
Quand t décrit [0, 2π[, l’ellipse est parcourue une fois ; quand
t décrit R, elle est parcourue une infinité de fois. Si a = b, on
obtient simplement un cercle de rayon a.
Exemple 3 : la cycloïde. Faisons rouler sans glissement un cercle C sur une
droite D. Considérons un point M lié au cercle : au cours du mouvement, la
trajectoire de M est une courbe appelée cycloïde.
x
y
O
C
D
M
θ
r
ω
T
→
i
→
j
Cherchons une équation paramétrique de la cycloïde. Pour cela, prenons comme axe
des abscisses la droite D orientée dans le sens du mouvement et choisissons le repère
orthonormé direct. Pour simplifier, supposons qu’à l’instant
initial, le point de contact du cercle et de la droite est à l’origine.
Le paramètre est l’angle θ dont a tourné le cercle. Notons r le
rayon du cercle, ω son centre et T son point de contact avec D.
Puisque le roulement est sans glissement, la longueur OT est
égale à la longueur rθ de l’arc
T M du cercle. Le point ω décrit
une droite parallèle à D à la distance r : si l’on suppose que C est dans le demi-plan
supérieur, l’ordonnée de ω vaut donc toujours r. On a
− − − − − − − →
OM =
− − − − − →
OT +
− − − − →
T ω +
− − − − − − →
ωM ,
− − − − − →
OT = rθ
→
i,
− − − − →
T ω = r
→
j et
− − − − − − →
ωM = (−r sin θ)
→
i +(−r cos θ)
→
j , donc
− − − − − − − − − − − − − →
OM (t) = r(θ − sin θ)
→
i +r(1 − cos θ)
→
j
Les fonctions coordonnées sont x(θ) = r(θ − sin θ), y(θ) = r(1 − cos θ).
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