1
2
f
(s)
f
(s)
(x − s)
2 + o
(x − s)
2
, d’où lim
x→s
N (x) − s
(x − s)
2
=
f
(s)
2f
(s)
. On a N (x n ) = x n+1 et lim x n = s,
donc
x n+1 − s
(x n − s)
2
tend vers
f
(s)
2f
(s)
.
Pour fixer les idées, supposons que
f
(s)/2f
(s)
est de l’ordre de l’unité. À partir du
rang n tel que |e n | soit de l’ordre de 10
−1 , |e n+1 | sera de l’ordre de (10
−1 )
2 = 10
−2 ,
|e n+2 | de l’ordre de (10
−2 )
2 = 10
−4 , et ainsi de suite : à partir de ce rang n, le nombre
de décimales exactes est en principe doublé quand on passe de x n à x n+1 .
Remarque
Dans la méthode du point fixe pour une fonction contractante, nous avons montré
que l’erreur diminue comme k
n , où k < 1 est le coefficient de contraction de la
fonction au voisinage du point fixe (page 263) ; si par exemple k est de l’ordre de
1/10, on finit seulement par gagner une décimale à chaque itération. On voit que la
suite de Newton converge beaucoup plus rapidement.
Précautions d'emploi. Il est important de choisir une valeur initiale x 0 suffisamment proche de la solution, faute de quoi la suite peut tendre vers l’infini, ou
générer un cycle, ou devenir erratique.
x 1
x 2
x 0
x 3
x
s
4
x 5
x
y
f
x
0
x
0
x
1
x
2
On commence donc en général par estimer grossièrement la solution, afin de prendre
x 0 pas trop différent de s.
Cependant, supposons par exemple que pour x > s, on a f (x) > 0 et f
strictement
croissante, comme sur la figure page 308 (la condition f
croissante se traduit par le
fait que le graphe est au dessus de ses tangentes). Pour toute valeur initiale x 0 > s, on
a alors s < x 1 < x 0 , donc aussi s < x 2 < x 1 et ainsi de suite : la suite (x n ) est décroissante, minorée par s, donc elle converge. Sa limite doit être une solution de l’équation
f (x) = 0, et comme on a supposé f (x) > 0 pour tout x > s, la limite est s. De même,
si f (x) et f
(x) sont négatifs pour tout x > s, on peut choisir x 0 > s quelconque. Ces
conditions sont notamment satisfaites dans le cas suivant.
Si f est une fonction polynôme ayant toutes ses racines réelles et si s est la
plus grande racine, la suite de Newton initialisée en x 0 >s a pour limite s.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 309
2
f
(s)
f
(s)
(x − s)
2 + o
(x − s)
2
, d’où lim
x→s
N (x) − s
(x − s)
2
=
f
(s)
2f
(s)
. On a N (x n ) = x n+1 et lim x n = s,
donc
x n+1 − s
(x n − s)
2
tend vers
f
(s)
2f
(s)
.
Pour fixer les idées, supposons que
f
(s)/2f
(s)
est de l’ordre de l’unité. À partir du
rang n tel que |e n | soit de l’ordre de 10
−1 , |e n+1 | sera de l’ordre de (10
−1 )
2 = 10
−2 ,
|e n+2 | de l’ordre de (10
−2 )
2 = 10
−4 , et ainsi de suite : à partir de ce rang n, le nombre
de décimales exactes est en principe doublé quand on passe de x n à x n+1 .
Remarque
Dans la méthode du point fixe pour une fonction contractante, nous avons montré
que l’erreur diminue comme k
n , où k < 1 est le coefficient de contraction de la
fonction au voisinage du point fixe (page 263) ; si par exemple k est de l’ordre de
1/10, on finit seulement par gagner une décimale à chaque itération. On voit que la
suite de Newton converge beaucoup plus rapidement.
Précautions d'emploi. Il est important de choisir une valeur initiale x 0 suffisamment proche de la solution, faute de quoi la suite peut tendre vers l’infini, ou
générer un cycle, ou devenir erratique.
x 1
x 2
x 0
x 3
x
s
4
x 5
x
y
f
x
0
x
0
x
1
x
2
On commence donc en général par estimer grossièrement la solution, afin de prendre
x 0 pas trop différent de s.
Cependant, supposons par exemple que pour x > s, on a f (x) > 0 et f
strictement
croissante, comme sur la figure page 308 (la condition f
croissante se traduit par le
fait que le graphe est au dessus de ses tangentes). Pour toute valeur initiale x 0 > s, on
a alors s < x 1 < x 0 , donc aussi s < x 2 < x 1 et ainsi de suite : la suite (x n ) est décroissante, minorée par s, donc elle converge. Sa limite doit être une solution de l’équation
f (x) = 0, et comme on a supposé f (x) > 0 pour tout x > s, la limite est s. De même,
si f (x) et f
(x) sont négatifs pour tout x > s, on peut choisir x 0 > s quelconque. Ces
conditions sont notamment satisfaites dans le cas suivant.
Si f est une fonction polynôme ayant toutes ses racines réelles et si s est la
plus grande racine, la suite de Newton initialisée en x 0 >s a pour limite s.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 309