Interprétation géométrique.
x
y
f
x 0
x 1
x 2
Au point initial x 0 , la tangente au graphe de f a
pour équation y =f (x 0 )+f
(x 0 )(x−x 0 ). Puisque f
(x 0 ) =0,
cette tangente coupe l’axe des abscisses au point x tel que
0 = f (x 0 ) + f
(x 0 )(x−x 0 ), c’est-à-dire en x 1 = x 0 −
f (x 0 )
f
(x 0 )
=
N (x 0 ).
On voit maintenant comment construire les itérés x n :
la tangente au graphe de f au point d’abscisse
x n coupe l’axe des abscisses en x n+1 .
Exemple. Soit f (x) = 4x
3
− 11x
2 + 15x − 14. On a f (1) = −6 < 0 et f (2) = 4 > 0,
donc l’équation f (x) = 0 possède une solution s entre 1 et 2, d’après le théorème
des valeurs intermédiaires.
Prenons x 0 = 2,5 comme valeur initiale. Le tableau ci-dessous montre les premières
valeurs x n de la suite de Newton. Il est visible que cette suite a pour limite 1,75 et,
dans cet exemple, on a effectivement f (1,75) = 0 : le nombre s = 1,75 est solution
exacte de l’équation.
n
x n
e n
décimales exactes
0 2,500000000000000000000000000 0,75
0
1 2,007142857142857142857142857 0,20
0
2 1,791552915934118533759009012 0,04
1
3 1,751265118850405510535778693 10
−3
2
4 1,750001206860097353452187869 10
−6
5
5 1,750000000001099252866066046 10
−12
11
6 1,750000000000000000000000912 10
−24
24
Le nombre e n est l’erreur commise en remplaçant s par x n , autrement dit e n = x n − s
(on ne connaît bien sûr de e n que des valeurs approchées).
Dans le tableau, on voit qu’en passant de x n à x n+1 , le nombre de décimales exactes
est au moins doublé, de sorte que la convergence est très rapide. Nous allons voir que
c’est une propriété générale des termes x n de la suite de Newton, pour n assez grand.
Proposition. Posons e n = x n − s. Quand n tend vers l’infini,
e n+1
e
2
n
tend vers
f
(s)
2f
(s)
.
Démonstration. On a N
(x) =
f (x)f
(x)
f
(x)
2
et puisque f (s) = 0, f (x) = f
(s)(x − s)+o(x − s).
Quand x tend vers s, f
(x) tend vers f
(s) = 0, f
(x) tend vers f
(s), donc N
(x) =
f
(s)(x − s)f
(s)
f
(s)
2
+ (x − s) o(x − s). En intégrant, on obtient N (x) − s = N (x) − N (s) =
308 – R ´
ESOLUTION D’ ´
EQUATIONS PAR LA M ´
ETHODE DE NEWTON
x
y
f
x 0
x 1
x 2
Au point initial x 0 , la tangente au graphe de f a
pour équation y =f (x 0 )+f
(x 0 )(x−x 0 ). Puisque f
(x 0 ) =0,
cette tangente coupe l’axe des abscisses au point x tel que
0 = f (x 0 ) + f
(x 0 )(x−x 0 ), c’est-à-dire en x 1 = x 0 −
f (x 0 )
f
(x 0 )
=
N (x 0 ).
On voit maintenant comment construire les itérés x n :
la tangente au graphe de f au point d’abscisse
x n coupe l’axe des abscisses en x n+1 .
Exemple. Soit f (x) = 4x
3
− 11x
2 + 15x − 14. On a f (1) = −6 < 0 et f (2) = 4 > 0,
donc l’équation f (x) = 0 possède une solution s entre 1 et 2, d’après le théorème
des valeurs intermédiaires.
Prenons x 0 = 2,5 comme valeur initiale. Le tableau ci-dessous montre les premières
valeurs x n de la suite de Newton. Il est visible que cette suite a pour limite 1,75 et,
dans cet exemple, on a effectivement f (1,75) = 0 : le nombre s = 1,75 est solution
exacte de l’équation.
n
x n
e n
décimales exactes
0 2,500000000000000000000000000 0,75
0
1 2,007142857142857142857142857 0,20
0
2 1,791552915934118533759009012 0,04
1
3 1,751265118850405510535778693 10
−3
2
4 1,750001206860097353452187869 10
−6
5
5 1,750000000001099252866066046 10
−12
11
6 1,750000000000000000000000912 10
−24
24
Le nombre e n est l’erreur commise en remplaçant s par x n , autrement dit e n = x n − s
(on ne connaît bien sûr de e n que des valeurs approchées).
Dans le tableau, on voit qu’en passant de x n à x n+1 , le nombre de décimales exactes
est au moins doublé, de sorte que la convergence est très rapide. Nous allons voir que
c’est une propriété générale des termes x n de la suite de Newton, pour n assez grand.
Proposition. Posons e n = x n − s. Quand n tend vers l’infini,
e n+1
e
2
n
tend vers
f
(s)
2f
(s)
.
Démonstration. On a N
(x) =
f (x)f
(x)
f
(x)
2
et puisque f (s) = 0, f (x) = f
(s)(x − s)+o(x − s).
Quand x tend vers s, f
(x) tend vers f
(s) = 0, f
(x) tend vers f
(s), donc N
(x) =
f
(s)(x − s)f
(s)
f
(s)
2
+ (x − s) o(x − s). En intégrant, on obtient N (x) − s = N (x) − N (s) =
308 – R ´
ESOLUTION D’ ´
EQUATIONS PAR LA M ´
ETHODE DE NEWTON