Majoration de l'erreur dans l'appr oximation affine
Pour une fonction deux fois dérivable, on a une égalité des accroissements finis à
l’ordre 2 :
f (x) = f (a) + (x−a)f
(a) +
(x−a)
2
2
f
(c), où c est entre a et x.
L’erreur commise en x quand on remplace f (x) par son approximation affine au point a
est moindre que M
|x − a|
2
2
, où M est un majorant de
f
(t)
quand t décrit l’intervalle
d’extrémités a et x.
En effet, sur la figure précédente, on a T M =
f (x) − y
=
(x−a)
2
2
f
(c)
.
3. Résolution d'équations par la méthode de Newton
Dans les applications, on rencontre le plus souvent des équations qu’on ne sait pas
résoudre de façon exacte. Il faut alors disposer de méthodes permettant de trouver
une bonne valeur approchée de la solution. La méthode de Newton est l’une des plus
employées pour résoudre une équation f (x) = 0 lorsque la fonction est suffisamment
régulière.
Précisément, supposons que f a une dérivée seconde continue et que f
(x) = 0 sur
l’intervalle où l’on cherche la solution.
Principe de la méthode. On considère la fonction N (x) = x −
f (x)
f
(x)
et la suite
itérative x n+1 = N (x n ), c’est-à-dire
x n+1 = x n −
f (x n )
f
(x n )
, où x 0 est une valeur initiale donnée.
Un nombre s est solution de l’équation f (x) = 0 si et seulement si N (s) = s, autrement dit : les solutions de f (x) = 0 sont les points fixes de N . Si la suite (x n ) a une
limite, cette limite est un point fixe de N , donc une solution de l’équation f (x) = 0.
On a N
(x) = 1 −
f
(x)
2 − f (x)f
(x)
f
(x)
2
=
f (x)f
(x)
f
(x)
2
, donc N
(s) = 0 car f (s) = 0.
Pour x voisin de s, |N
(x)| sera voisin de 0 et en tout cas inférieur à un nombre
positif K < 1. D’après l’inégalité des accroissements finis, on aura donc
|x n+1 − s| =
N (x n ) − N (s)
K|x n − s|
pour x n assez proche de s. Ainsi la fonction N est contractante au voisinage du
point fixe s. Le point fixe est attractif et la suite (x n ) tend vers s (page 263).
Mais puisque N
(s) = 0, le coefficient K est d’autant plus petit que x n est proche
de s, donc le point fixe est très attractif et la suite (x n ) converge très rapidement
vers s : c’est cela qui fait l’intérêt de la méthode de Newton.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 307
Pour une fonction deux fois dérivable, on a une égalité des accroissements finis à
l’ordre 2 :
f (x) = f (a) + (x−a)f
(a) +
(x−a)
2
2
f
(c), où c est entre a et x.
L’erreur commise en x quand on remplace f (x) par son approximation affine au point a
est moindre que M
|x − a|
2
2
, où M est un majorant de
f
(t)
quand t décrit l’intervalle
d’extrémités a et x.
En effet, sur la figure précédente, on a T M =
f (x) − y
=
(x−a)
2
2
f
(c)
.
3. Résolution d'équations par la méthode de Newton
Dans les applications, on rencontre le plus souvent des équations qu’on ne sait pas
résoudre de façon exacte. Il faut alors disposer de méthodes permettant de trouver
une bonne valeur approchée de la solution. La méthode de Newton est l’une des plus
employées pour résoudre une équation f (x) = 0 lorsque la fonction est suffisamment
régulière.
Précisément, supposons que f a une dérivée seconde continue et que f
(x) = 0 sur
l’intervalle où l’on cherche la solution.
Principe de la méthode. On considère la fonction N (x) = x −
f (x)
f
(x)
et la suite
itérative x n+1 = N (x n ), c’est-à-dire
x n+1 = x n −
f (x n )
f
(x n )
, où x 0 est une valeur initiale donnée.
Un nombre s est solution de l’équation f (x) = 0 si et seulement si N (s) = s, autrement dit : les solutions de f (x) = 0 sont les points fixes de N . Si la suite (x n ) a une
limite, cette limite est un point fixe de N , donc une solution de l’équation f (x) = 0.
On a N
(x) = 1 −
f
(x)
2 − f (x)f
(x)
f
(x)
2
=
f (x)f
(x)
f
(x)
2
, donc N
(s) = 0 car f (s) = 0.
Pour x voisin de s, |N
(x)| sera voisin de 0 et en tout cas inférieur à un nombre
positif K < 1. D’après l’inégalité des accroissements finis, on aura donc
|x n+1 − s| =
N (x n ) − N (s)
K|x n − s|
pour x n assez proche de s. Ainsi la fonction N est contractante au voisinage du
point fixe s. Le point fixe est attractif et la suite (x n ) tend vers s (page 263).
Mais puisque N
(s) = 0, le coefficient K est d’autant plus petit que x n est proche
de s, donc le point fixe est très attractif et la suite (x n ) converge très rapidement
vers s : c’est cela qui fait l’intérêt de la méthode de Newton.
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 307