Quand t devient grand, be
−βt est infiniment petit devant ae
−αt : en effet, e
−βt
e
−αt
=e
(α−β)t
tend vers 0 quand t tend vers +∞, car nous avons supposé α−β < 0. On a donc
q(t) ∼
t→+∞
ae
−αt . Puisque q(t)=ae
−αt
1+(b/a)e
(α−β)t
, il vient en prenant le logarithme
ln q(t) = −αt + ln a + ln
1 + u(t)
, où u(t) = (b/a)e
(α−β)t .
Comme u(t) tend vers 0 quand t tend vers plus l’infini, ln
1 + u(t)
aussi, et
ln q(t) ∼
t→+∞
(−αt + ln a).
Après un certain délai qui dépend de l’ordre de grandeur (connu) des coefficients,
ln q(t) se comporte comme la fonction affine −αt + lna. Pour calculer une estimation
de −α et de ln a, on effectue des mesures de q 1 , q 2 , . . . à des instants t 1 , t 2 , . . . et
l’on cherche la fonction affine qui approxime le mieux la relation entre les t i et les
q i = q(t i ) : la solution est la droite de régression (page 211).
Après qu’on ait ainsi déterminé les nombres α et ln a (donc aussi le coefficient a),
on considère
r(t) = q(t) − ae
−αt = be
−βt
, ln r(t) = −βt + ln b
et les mesures t i , ln r i = ln
q i −ae
−αt i
. En calculant la droite de régression relative
à ces données, on obtient les nombres −β et ln b (voir l’exercice 4).
Application à l'étude d'une fonction au voisinage d'un point
Soit f une fonction continue ayant au point a un développement limité à l’ordre 2 :
f (x) = p 0 + p 1 (x−a) + p 2 (x−a)
2 + o
(x−a)
2
Proposition
a) On a p 0 = f (a) et p 1 = f
(a).
b) L’équation de la tangente en a est y = p 0 + p 1 (x − a).
c) Au voisinage de a, la courbe est au-dessus de sa tangente en a si p 2 >0, en-dessous si p 2 <0.
x
f (x
y
)
x
a
M
T
Le membre de droite tend vers p 0 quand x tend vers a ; comme la fonction est
continue en a, f (x) tend vers f (a), donc p 0 = f (a).
On a alors
f (x)−f (a)
∼
x→a
p 1 (x − a) et par définition, f
(a) = p 1 . L’équation de la tangente est donc bien
y = p 0 + p 1 (x − a). Soient M et T les points d’abscisse x
sur le graphe de f et sur la tangente en a. Si p 2 = 0, on a
T M = f (x) − y ∼
x→a
p 2 (x − a)
2 . Pour x voisin de a, T M
a donc le signe de p 2 (x − a)
2 , c’est-à-dire celui de p 2 .
Si f est deux fois dérivable, on sait qu’en tout point a, le coefficient p 2 du
développement limité est 1
2
f
(a). On en déduit :
Si f
(x) > 0 pour tout x, alors en tout point, le graphe de f est au dessus de sa tangente.
Si f
(x) < 0 pour tout x, alors en tout point, le graphe de f est en dessous de sa tangente.
306 – D ´
EVELOPPEMENTS LIMIT ´
ES
−βt est infiniment petit devant ae
−αt : en effet, e
−βt
e
−αt
=e
(α−β)t
tend vers 0 quand t tend vers +∞, car nous avons supposé α−β < 0. On a donc
q(t) ∼
t→+∞
ae
−αt . Puisque q(t)=ae
−αt
1+(b/a)e
(α−β)t
, il vient en prenant le logarithme
ln q(t) = −αt + ln a + ln
1 + u(t)
, où u(t) = (b/a)e
(α−β)t .
Comme u(t) tend vers 0 quand t tend vers plus l’infini, ln
1 + u(t)
aussi, et
ln q(t) ∼
t→+∞
(−αt + ln a).
Après un certain délai qui dépend de l’ordre de grandeur (connu) des coefficients,
ln q(t) se comporte comme la fonction affine −αt + lna. Pour calculer une estimation
de −α et de ln a, on effectue des mesures de q 1 , q 2 , . . . à des instants t 1 , t 2 , . . . et
l’on cherche la fonction affine qui approxime le mieux la relation entre les t i et les
q i = q(t i ) : la solution est la droite de régression (page 211).
Après qu’on ait ainsi déterminé les nombres α et ln a (donc aussi le coefficient a),
on considère
r(t) = q(t) − ae
−αt = be
−βt
, ln r(t) = −βt + ln b
et les mesures t i , ln r i = ln
q i −ae
−αt i
. En calculant la droite de régression relative
à ces données, on obtient les nombres −β et ln b (voir l’exercice 4).
Application à l'étude d'une fonction au voisinage d'un point
Soit f une fonction continue ayant au point a un développement limité à l’ordre 2 :
f (x) = p 0 + p 1 (x−a) + p 2 (x−a)
2 + o
(x−a)
2
Proposition
a) On a p 0 = f (a) et p 1 = f
(a).
b) L’équation de la tangente en a est y = p 0 + p 1 (x − a).
c) Au voisinage de a, la courbe est au-dessus de sa tangente en a si p 2 >0, en-dessous si p 2 <0.
x
f (x
y
)
x
a
M
T
Le membre de droite tend vers p 0 quand x tend vers a ; comme la fonction est
continue en a, f (x) tend vers f (a), donc p 0 = f (a).
On a alors
f (x)−f (a)
∼
x→a
p 1 (x − a) et par définition, f
(a) = p 1 . L’équation de la tangente est donc bien
y = p 0 + p 1 (x − a). Soient M et T les points d’abscisse x
sur le graphe de f et sur la tangente en a. Si p 2 = 0, on a
T M = f (x) − y ∼
x→a
p 2 (x − a)
2 . Pour x voisin de a, T M
a donc le signe de p 2 (x − a)
2 , c’est-à-dire celui de p 2 .
Si f est deux fois dérivable, on sait qu’en tout point a, le coefficient p 2 du
développement limité est 1
2
f
(a). On en déduit :
Si f
(x) > 0 pour tout x, alors en tout point, le graphe de f est au dessus de sa tangente.
Si f
(x) < 0 pour tout x, alors en tout point, le graphe de f est en dessous de sa tangente.
306 – D ´
EVELOPPEMENTS LIMIT ´
ES