Puisque y
2
∼
x→0
1
4
x
4 , on a y
2 = o(x
3 ), donc aussi o(y
2 ) = o(x
3 ). En remplaçant dans
le développement de z, on obtient
√
cos x = z = 1 + 1
2
− 1
2
x
2
+ o(x
3 ) = 1 − 1
4
x
2 + o(x
3 )
Recherche d'une partie principale et calcul de limites
Quand x tend vers une valeur a . Si l’on a un développement limité de f (x)
en un point a, alors f (x) est équivalent au premier terme non nul de ce développement.
En effet, si le premier terme est p k (x−a)
k , alors f (x) − p k (x−a)
k est une somme de
fonctions négligeables devant (x−a)
k .
Quand x tend vers l'infini. On prend t = 1
x
comme variable : alors f (x) est
une fonction g(t) et l’on calcule le développement limité de g(t) quand t tend vers
0 par valeurs positives si x tend vers +∞, par valeurs négatives si x tend vers −∞.
Exemples
a) Quelle est la partie principale de f (x)=
√
x 3 −ax−
√
x 3 −bx quand x tend vers +∞ ?
Supposons a = b, sinon f (x) = 0. Quand x tend vers +∞, la partie prépondérante
de
√
x 3 −ax est
√
x 3 = x
√
x : on met donc x
√
x en facteur, d’où
f (x) = x
√
x
1 − a/x 2 −
1 − b/x 2
= x
√
x u(x)
En posant x = 1/t et en utilisant les développements limités de
√
1+t 2 et de
√
1−t 2 en 0 (tableau page 303), il vient
u(x) =
1−at 2 −
1−bt 2 =
1 − at
2
2
−
1 − bt
2
2
+ o(t
2 ) =
b−a
2
t
2 + o(t
2 ) ∼
t→0
b−a
2
t
2
f (x) ∼
x→+∞
x
√
x
b−a
2x
2
=
b−a
2
√
x
On en déduit lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
b−a
2
√
x
= 0.
b) Cherchons la partie principale de f (x) = 1
sin x
− 1
x
quand x tend vers 0. On a
f (x) =
x − sin x
x sin x
et l’on sait que (x− sin x) ∼
x→0
x
3
6
. On en déduit f (x) ∼
x→0
x
3 /6
x sin x
=
x
6
x
sin x
∼
x→0
x
6
, car sinx ∼
x→0
x. En conséquence, f (x) tend vers 0 quand x tend vers 0.
Exemple. Pour un certain cocktail de médicaments, on sait que la quantité q de
produit actif dans le tissu cible se stabilise puis décroît en fonction du temps selon
une loi de diffusion de la forme q(t) = ae
−αt + be
−βt , où β > α > 0.
Un des problèmes en Biométrie consiste à estimer les constantes positives a, α, b et
β en effectuant des mesures de q(t).
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 305
2
∼
x→0
1
4
x
4 , on a y
2 = o(x
3 ), donc aussi o(y
2 ) = o(x
3 ). En remplaçant dans
le développement de z, on obtient
√
cos x = z = 1 + 1
2
− 1
2
x
2
+ o(x
3 ) = 1 − 1
4
x
2 + o(x
3 )
Recherche d'une partie principale et calcul de limites
Quand x tend vers une valeur a . Si l’on a un développement limité de f (x)
en un point a, alors f (x) est équivalent au premier terme non nul de ce développement.
En effet, si le premier terme est p k (x−a)
k , alors f (x) − p k (x−a)
k est une somme de
fonctions négligeables devant (x−a)
k .
Quand x tend vers l'infini. On prend t = 1
x
comme variable : alors f (x) est
une fonction g(t) et l’on calcule le développement limité de g(t) quand t tend vers
0 par valeurs positives si x tend vers +∞, par valeurs négatives si x tend vers −∞.
Exemples
a) Quelle est la partie principale de f (x)=
√
x 3 −ax−
√
x 3 −bx quand x tend vers +∞ ?
Supposons a = b, sinon f (x) = 0. Quand x tend vers +∞, la partie prépondérante
de
√
x 3 −ax est
√
x 3 = x
√
x : on met donc x
√
x en facteur, d’où
f (x) = x
√
x
1 − a/x 2 −
1 − b/x 2
= x
√
x u(x)
En posant x = 1/t et en utilisant les développements limités de
√
1+t 2 et de
√
1−t 2 en 0 (tableau page 303), il vient
u(x) =
1−at 2 −
1−bt 2 =
1 − at
2
2
−
1 − bt
2
2
+ o(t
2 ) =
b−a
2
t
2 + o(t
2 ) ∼
t→0
b−a
2
t
2
f (x) ∼
x→+∞
x
√
x
b−a
2x
2
=
b−a
2
√
x
On en déduit lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
b−a
2
√
x
= 0.
b) Cherchons la partie principale de f (x) = 1
sin x
− 1
x
quand x tend vers 0. On a
f (x) =
x − sin x
x sin x
et l’on sait que (x− sin x) ∼
x→0
x
3
6
. On en déduit f (x) ∼
x→0
x
3 /6
x sin x
=
x
6
x
sin x
∼
x→0
x
6
, car sinx ∼
x→0
x. En conséquence, f (x) tend vers 0 quand x tend vers 0.
Exemple. Pour un certain cocktail de médicaments, on sait que la quantité q de
produit actif dans le tissu cible se stabilise puis décroît en fonction du temps selon
une loi de diffusion de la forme q(t) = ae
−αt + be
−βt , où β > α > 0.
Un des problèmes en Biométrie consiste à estimer les constantes positives a, α, b et
β en effectuant des mesures de q(t).
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 305