1
x
= 1
a
− 1
a
2
(x − a) + 1
a
3
(x − a)
2 + o
(x − a)
2
b) Pour trouver le développement de cos x à l’ordre 2 au point x = π/3, posons
X = x − π/3 et développons cos(π/3 + X) au point X = 0 à l’ordre 2. Puisque
cos π/3 = 1/2 et sin π/3 =
√
3/2, il vient
cos(π/3 + X) = 1
2
cos X −
√
3
2
sin X
= 1
2
1− 1
2
X
2
−
√
3
2
X + o(X
2 )
= 1
2
−
√
3
2
X − 1
4
X
2 + o(X
2 )
cos x = 1
2
−
√
3
2
(x−π/3) − 1
4
(x−π/3)
2 + o
(x−π/3)
2
Somme. On peut évidemment ajouter ou soustraire deux développements limités
au même point et l’ordre du résultat est le plus petit des ordres employés.
Par exemple, au point 0, on a
sin x = x − 1
6
x
3 + 1
120
x
5 + o(x
6 ) et tan x = x + 1
3
x
3 + o(x
3 )
donc tan x − sin x =
1
3
+ 1
6
x
3 + o(x
3 ) = 1
2
x
3 + o(x
3 ). C’est le résultat qu’indique
le tableau de valeurs page 265.
Produit. Pour trouver le développement à l’ordre n au point 0 d’un produit
f (x)g(x), on écrit les développements limités de f (x) et g(x) à ce même ordre n et
l’on multiplie les parties polynômes en négligeant les puissances de x supérieures à
n. Par exemple, on a
e
x = 1 + x + 1
2
x
2 + 1
6
x
3 + o(x
3 ) et cos x = 1 − 1
2
x
2 + o(x
3 )
e
x cos x =
1+x+ 1
2
x
2 + 1
6
x
3
1− 1
2
x
2
+o(x
3 ) (produit des parties polynômes)
= 1+x+ 1
2
x
2 + 1
6
x
3 +[1 + x]
− 1
2
x
2
+o(x
3 ) (suppression des ordres > 3)
= 1+x− 1
3
x
3 +o(x
3 )
Composé. Supposons que z = g(y) et y = f (x) ont des développements limités
z = Q(y) + o(y
n ) et y = P (x) + o(x
n ) au point 0 et que l’on a f (0) = 0. Cette dernière
condition se traduit par le fait que le terme constant du polynôme P est nul. Pour
obtenir le développement de z = g
f (x)
à l’ordre n au point 0, on remplace y par
P (x) dans le polynôme Q(y) en négligeant les puissances de x supérieures à n.
Cherchons par exemple le développement à l’ordre 3 de z =
√
cos x au point 0.
On pose y = cos x − 1, donc z =
√
cos x =
√
1 + y, et l’on a bien y = 0 quand x = 0.
y = − 1
2
x
2 + o(x
3 ) et z = 1 + 1
2
y − 1
8
y
2 + o(y
2 )
304 – D ´
EVELOPPEMENTS LIMIT ´
ES