5) On sait que sin x = x + o(x). Puisque
x
0
sin t dt = 1 − cos x, on a 1 − cos x =
1
2
x
2 + o(x
2 ), c’est-à-dire cosx = 1 − 1
2
x
2 + o(x
2 ). En intégrant à nouveau, on obtient
sin x = x − 1
6
x
3 + o(x
3 ) et en poursuivant ainsi, on trouve les développements à
des ordres supérieurs.
6) Cherchons le développement limité de
√
1−x en 0 à l’ordre 3 : la dérivée de
√
1−x
est − 1
2
√
1−x
, elle vaut −1/2 en x = 0, donc le développement cherché s’écrit
√
1−x = 1 − 1
2
x + ax
2 + bx
3 + o(x
3 )
Élevons au carré en négligeant les termes infiniment petits devant x
3 :
1−x = 1+2
− 1
2
x
+
1
2
2
x
2 +2ax
2 +2
− 1
2
x
(ax
2 )+2bx
3 + o(x
3 )
= 1 − x +
2a + 1
4
x
2 + (2b − a)x
3 + o(x
3 )
Puisque le développement limité est unique, les parties polynômes sont les mêmes,
donc 2a + 1
4
= 2b − a = 0, ce qui donne a = − 1
8
, b = − 1
16
et
√
1−x = 1 − 1
2
x − 1
8
x
2
− 1
16
x
3 + o(x
3 )
Principaux développements en 0
1
1 − x
= 1 + x + · · · + x
n + o(x
n )
e
x = 1 + x + 1
2!
x
2 + · · · + 1
n!
x
n + o(x
n )
ln(1 + x) = x − 1
2
x
2 + 1
3
x
3 + o(x
3 )
sin x = x − 1
6
x
3 + o(x
4 ), cos x = 1 − 1
2
x
2 + o(x
3 ), tan x = x + 1
3
x
3 + o(x
4 )
Arc sin x = x + 1
6
x
3 + o(x
4 ), Arc tan x = x − 1
3
x
3 + o(x
4 )
(1 − x)
1/2 = 1 − 1
2
x − 1
8
x
2 + o(x
2 ), (1 − x)
−1/2 = 1 + 1
2
x + 3
8
x
2 + o(x
2 )
Pratique des développements limités
Pour calculer un développement limité p 0 + p 1 (x−a) + · · · + p n (x−a)
n + o
(x−a)
n
au point a, il est commode de se ramener au point 0 en posant X = x − a.
Exemples
a) Cherchons le développement limité de 1
x
en un point a = 0. On pose X = x − a
et l’on calcule le développement limité de 1
a+X
au point X = 0. À l’ordre 2 par
exemple, il vient
1
a+X
= 1
a
1
1+X/a
= 1
a
1 − X
a
+ X
2
a
2
+ o(X
2 )
= 1
a
− X
a
2
+ X
2
a
3
+ o(X
2 )
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 303