On sait qu’en intégrant de 0 à x une fonction de t qui est négligeable devant t
n quand t tend
vers 0, on obtient, quand x tend vers 0, une quantité négligeable devant
x
0
t
n dt = x
n+1
n + 1
(page 289), donc
x
0
o(t
n ) dt = o(x
n+1 ).
Mis à part l’intégration, on peut ajouter ou multiplier des développements limités
au même point et au même ordre.
Quelques développements limités usuels au point 0
1) À l’ordre 1, on a l’approximation affine e
x = 1 + x + o(x). En intégrant, on en
déduit e
x
− e
0 =
x
0
e
t dt =
x
0
(1 + t) dt + o(x
2 ) = x + 1
2
x
2 + o(x
2 ), c’est-à-dire
e
x = 1 + x + 1
2
x
2 + o(x
2 )
En intégrant à nouveau, il vient de même e
x
− 1 =
x
0
1 + t + 1
2
t
2
dt + o(x
3 ),
ou encore
e
x = 1 + x + 1
2
x
2 + 1
2 · 3
x
3 + o(x
3 )
Si l’on continue à intégrer, on obtient les développements à des ordres plus élevés.
2) Pour n entier positif, écrivons l’identité
1−x
n+1
1−x
= 1 + x + · · · + x
n sous la forme
1
1−x
= 1 + x + · · · + x
n + x
n+1
1−x
Quand x tend vers 0, 1
1−x
tend vers 1, donc x
n+1
1−x
= o(x
n ). On en déduit que
le développement limité de 1
1−x
à l’ordre n en 0 est :
1
1−x
= 1 + x + · · · + x
n + o(x
n )
En changeant x en −x, puis x en x
2 , on trouve
1
1+x
= 1 − x + x
2
− · · · + (−1)
n x
n + o(x
n )
1
1+x
2
= 1 − x
2 + x
4
− · · · + (−1)
n x
2n + o(x
2n+1 )
Dans le dernier développement, on a gagné un ordre, car on sait que tous les termes
sont d’exposant pair.
3) Intégrons le développement 1
1−x
= 1 + x + · · · + x
n−1 + o(x
n−1 ).
Puisque
x
0
dt
1−t
= − ln(1−x), il vient
ln(1−x) = −x − 1
2
x
2
− 1
3
x
3
− · · · − 1
n
x
n + o(x
n )
4) On a 1
1+x
2
= 1 − x
2 + o(x
3 ), donc Arc tan x = x − 1
3
x
3 + o(x
4 ).
302 – D ´
EVELOPPEMENTS LIMIT ´
ES