pour tout entier k 0 (si k = 0, on convient que P
(0) = P ). En posant
P (x) = f (a) +
f
(a)
1!
(x − a) +
f
(a)
2!
(x − a)
2 + · · · +
f
(n) (a)
n!
(x − a)
n
on obtient donc un polynôme tel que P (a) = f (a),P
(a) = f
(a),. . .,P
(n) (a) = f
(n) (a).
Le polynôme P est le seul polynôme de degré inférieur ou égal à n ayant au point a les
mêmes dérivées que f jusqu’à l’ordre n.
Pour la fonction u(x) = f (x) − P (x), on aura alors u(a) = u
(a) = · · · = u
(n) (a) = 0
et d’après le résultat précédent,
f (x)−P (x)
x→a
(x−a)
n .
La formule de Taylor-Young. Pour une fonction f ayant des dérivées jusqu’à l’ordre
n, on a
f (x) = f (a)+
f
(a)
1!
(x−a)+
f
(a)
2!
(x−a)
2 + · · · +
f
(n) (a)
n!
(x−a)
n +ϕ(x) ,
où ϕ(x)
x→a
(x−a)
n .
Définition
Le polynôme P (x) = f (a)+
f
(a)
1!
(x−a)+
f
(a)
2!
(x−a)
2 + · · · +
f
(n) (a)
n!
(x−a)
n s’appelle le développement limité ou l’approximation à l’ordre n de f au point a.
D’après la formule de Taylor-Young, l’approximation à l’ordre n est unique.
À l’ordre 1, le développement limité au point a est f (a) + f
(a)(x − a) : c’est
l’approximation affine de f au point a (page 272).
2.2 Calcul des développements limités
Notation petit o : Supposons que n est un entier positif. Toute quantité qui est
infiniment petite devant (x−a)
n quand x tend vers a, se note o
(x−a)
n
, ce qui se
lit « petit o de (x−a)
n ».
Ainsi par exemple, on a x
3 = o(x
2 ) (infiniments petits quand x tend vers 0) et
(x−a)
2 = o(x−a) (infiniments petits quand x tend vers a).
On peut calculer les développements limités au moyen de la formule de Young, mais
au prix de plusieurs dérivations. Voici un premier outil de calcul bien commode.
Intégration d'un développement limité. Supposons que le développement limité
à l’ordre n de f en a est f (x) = p 0 + p 1 (x−a) + · · · + p n (x−a)
n + o
(x−a)
n
.
Si F est une primitive de f , alors
F (x) = F (a) + p 0 (x−a) +
p 1
2
(x−a)
2 + · · · +
p n
n + 1
(x−a)
n+1 + o
(x−a)
n+1
.
Démonstration. Supposons pour simplifier a=0, de sorte que f (x)=p 0 +p 1 x+· · ·+p n x
n +o(x
n ).
Si F est une primitive de f , alors
F (x) = F (0) +
x
0
f (t) dt = F (0) + p 0 x +
p 1
2
x
2 + · · · +
p n
n + 1
x
n+1 +
x
0
o(t
n ) dt
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 301
(0) = P ). En posant
P (x) = f (a) +
f
(a)
1!
(x − a) +
f
(a)
2!
(x − a)
2 + · · · +
f
(n) (a)
n!
(x − a)
n
on obtient donc un polynôme tel que P (a) = f (a),P
(a) = f
(a),. . .,P
(n) (a) = f
(n) (a).
Le polynôme P est le seul polynôme de degré inférieur ou égal à n ayant au point a les
mêmes dérivées que f jusqu’à l’ordre n.
Pour la fonction u(x) = f (x) − P (x), on aura alors u(a) = u
(a) = · · · = u
(n) (a) = 0
et d’après le résultat précédent,
f (x)−P (x)
x→a
(x−a)
n .
La formule de Taylor-Young. Pour une fonction f ayant des dérivées jusqu’à l’ordre
n, on a
f (x) = f (a)+
f
(a)
1!
(x−a)+
f
(a)
2!
(x−a)
2 + · · · +
f
(n) (a)
n!
(x−a)
n +ϕ(x) ,
où ϕ(x)
x→a
(x−a)
n .
Définition
Le polynôme P (x) = f (a)+
f
(a)
1!
(x−a)+
f
(a)
2!
(x−a)
2 + · · · +
f
(n) (a)
n!
(x−a)
n s’appelle le développement limité ou l’approximation à l’ordre n de f au point a.
D’après la formule de Taylor-Young, l’approximation à l’ordre n est unique.
À l’ordre 1, le développement limité au point a est f (a) + f
(a)(x − a) : c’est
l’approximation affine de f au point a (page 272).
2.2 Calcul des développements limités
Notation petit o : Supposons que n est un entier positif. Toute quantité qui est
infiniment petite devant (x−a)
n quand x tend vers a, se note o
(x−a)
n
, ce qui se
lit « petit o de (x−a)
n ».
Ainsi par exemple, on a x
3 = o(x
2 ) (infiniments petits quand x tend vers 0) et
(x−a)
2 = o(x−a) (infiniments petits quand x tend vers a).
On peut calculer les développements limités au moyen de la formule de Young, mais
au prix de plusieurs dérivations. Voici un premier outil de calcul bien commode.
Intégration d'un développement limité. Supposons que le développement limité
à l’ordre n de f en a est f (x) = p 0 + p 1 (x−a) + · · · + p n (x−a)
n + o
(x−a)
n
.
Si F est une primitive de f , alors
F (x) = F (a) + p 0 (x−a) +
p 1
2
(x−a)
2 + · · · +
p n
n + 1
(x−a)
n+1 + o
(x−a)
n+1
.
Démonstration. Supposons pour simplifier a=0, de sorte que f (x)=p 0 +p 1 x+· · ·+p n x
n +o(x
n ).
Si F est une primitive de f , alors
F (x) = F (0) +
x
0
f (t) dt = F (0) + p 0 x +
p 1
2
x
2 + · · · +
p n
n + 1
x
n+1 +
x
0
o(t
n ) dt
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
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EE ET DE L’INT ´
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