Supposons K < 1 . Alors la fonction f est contractante au voisinage du point fixe
θ e (page 262) : le coefficient de contraction est K et le cône de contraction s’étend sur
tout l’intervalle [0, π/2]. Dans ces conditions, on sait que le point fixe est attractif : la
suite (u n ) des itérés d’un point quelconque u 0 ∈ [0, π/2] a pour limite le point fixe.
Pour calculer une valeur approchée de θ e , il suffit de choisir un nombre initial u 0
entre 0 et π/2 et de calculer successivement les nombres u n définis par u n+1 =f (u n ) :
puisque u n tend vers θ e , on obtiendra, pour n assez grand, des valeurs approchées
de la solution.
2. Développements limités
2.1 Approximation à l'ordre n
Si une fonction dérivable f vérifie f (a) = f
(a) = 0, alors quand x tend vers a, f (x)
est infiniment petit devant x−a. Plus généralement, pour une fonction f ayant des
dérivées successives f
, f
, f
(3) , . . . , f
(n) , où f
(n) désigne la dérivée n-ième de f , on
a le résultat suivant.
Proposition. Si f (a) = f
(a) = f
(a) = · · · = f
(n) (a) = 0, alors f (x)
x→a
(x−a)
n .
Démonstration. Appliquons le théorème des accroissements finis entre a et x :
on a f (x) = f (x) − f (a) = (x − a)f
(x 1 ) avec x 1 entre a et x, donc
(1)
f (x)
|x − a|
f
(x 1 )
et |x 1 −a| |x−a|
Appliquons le théorème pour f
entre a et x 1 : on a f
(x 1 ) = f
(x 1 ) − f
(a) = (x 1 − a)f
(x 2 ),
où x 2 est entre a et x 1 , donc entre a et x, et par suite
(2)
f
(x 1 )
|x − a|
f
(x 2 )
et |x 2 −a| |x−a|
Poursuivons ainsi jusqu’à la dérivée (n−2)-ième :
on a f
(n−2) (x n−2 ) = f
(n−2) (x n−2 ) − f
(n−2) (a) = (x n−2 − a)f
(n−1) (x n−1 ), où x n−1 est entre
a et x n−2 , donc entre a et x, et il vient
(n−1)
f
(n−2) (x n−2 )
|x − a|
f
(n−1) (x n−1 )
et |x n−1 −a| |x−a|
En mettant bout à bout ces n−1 inégalités, on obtient
f (x)
|x − a|
f
(x 1 )
|x − a|
2
f
(x 2 )
· · · |x − a|
n−1
f
(n−1) (x n−1 )
Divisons par |x − a|
n (qui est positif) :
f (x)
(x − a)
n
f
(n−1) (x n−1 )
x − a
=
f
(n−1) (x n−1 ) − f
(n−1) (a)
|x − a|
f
(n−1) (x n−1 ) − f
(n−1) (a)
|x n−1 − a|
Quand x tend vers a, x n−1 tend vers a et le rapport de droite tend par définition vers
f
(n) (a)
= 0. Le rapport
f (x)
(x−a)
n a donc pour limite 0 quand x tend vers a.
Définissons un polynôme P qui a les mêmes dérivées que f au point a jusqu’à
l’ordre n : on sait que si P = p 0 + p 1 (x − a) + · · · + p n (x − a)
n , alors p k =
P
(k) (a)
k!
300 – D ´
EVELOPPEMENTS LIMIT ´
ES
θ e (page 262) : le coefficient de contraction est K et le cône de contraction s’étend sur
tout l’intervalle [0, π/2]. Dans ces conditions, on sait que le point fixe est attractif : la
suite (u n ) des itérés d’un point quelconque u 0 ∈ [0, π/2] a pour limite le point fixe.
Pour calculer une valeur approchée de θ e , il suffit de choisir un nombre initial u 0
entre 0 et π/2 et de calculer successivement les nombres u n définis par u n+1 =f (u n ) :
puisque u n tend vers θ e , on obtiendra, pour n assez grand, des valeurs approchées
de la solution.
2. Développements limités
2.1 Approximation à l'ordre n
Si une fonction dérivable f vérifie f (a) = f
(a) = 0, alors quand x tend vers a, f (x)
est infiniment petit devant x−a. Plus généralement, pour une fonction f ayant des
dérivées successives f
, f
, f
(3) , . . . , f
(n) , où f
(n) désigne la dérivée n-ième de f , on
a le résultat suivant.
Proposition. Si f (a) = f
(a) = f
(a) = · · · = f
(n) (a) = 0, alors f (x)
x→a
(x−a)
n .
Démonstration. Appliquons le théorème des accroissements finis entre a et x :
on a f (x) = f (x) − f (a) = (x − a)f
(x 1 ) avec x 1 entre a et x, donc
(1)
f (x)
|x − a|
f
(x 1 )
et |x 1 −a| |x−a|
Appliquons le théorème pour f
entre a et x 1 : on a f
(x 1 ) = f
(x 1 ) − f
(a) = (x 1 − a)f
(x 2 ),
où x 2 est entre a et x 1 , donc entre a et x, et par suite
(2)
f
(x 1 )
|x − a|
f
(x 2 )
et |x 2 −a| |x−a|
Poursuivons ainsi jusqu’à la dérivée (n−2)-ième :
on a f
(n−2) (x n−2 ) = f
(n−2) (x n−2 ) − f
(n−2) (a) = (x n−2 − a)f
(n−1) (x n−1 ), où x n−1 est entre
a et x n−2 , donc entre a et x, et il vient
(n−1)
f
(n−2) (x n−2 )
|x − a|
f
(n−1) (x n−1 )
et |x n−1 −a| |x−a|
En mettant bout à bout ces n−1 inégalités, on obtient
f (x)
|x − a|
f
(x 1 )
|x − a|
2
f
(x 2 )
· · · |x − a|
n−1
f
(n−1) (x n−1 )
Divisons par |x − a|
n (qui est positif) :
f (x)
(x − a)
n
f
(n−1) (x n−1 )
x − a
=
f
(n−1) (x n−1 ) − f
(n−1) (a)
|x − a|
f
(n−1) (x n−1 ) − f
(n−1) (a)
|x n−1 − a|
Quand x tend vers a, x n−1 tend vers a et le rapport de droite tend par définition vers
f
(n) (a)
= 0. Le rapport
f (x)
(x−a)
n a donc pour limite 0 quand x tend vers a.
Définissons un polynôme P qui a les mêmes dérivées que f au point a jusqu’à
l’ordre n : on sait que si P = p 0 + p 1 (x − a) + · · · + p n (x − a)
n , alors p k =
P
(k) (a)
k!
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