des accroissements finis permet de calculer un encadrement pour les valeurs de la
fonction f sur ce segment.
Exemple. Le dispositif ci-dessous montre un disque mobile autour d’un axe
horizontal en O. Le point T , à la verticale de O, est relié à un ressort R par un fil AT .
Au point B situé à l’horizontale de O, on laisse pendre une masse m. La roue tourne
alors d’un angle θ, le ressort s’allonge de AA
=x et le fil s’enroule le long de l’arc
T T
.
O
O
B
B
m
m
C
r
d
θ
θ
R
R
A
A
T
T
A
x
T
Notons r le rayon de la roue et d la distance OB. À l’équilibre, le point d’attache
du poids est en B
et le vecteur
− − − − − − − →
OB
fait l’angle θ avec l’horizontale.
Le poids
− →
P appliqué en B
a pour valeur mg et le ressort exerce en T une force
de rappel
− →
F horizontale d’intensité kx, où k est le coefficient de dureté du ressort.
À l’équilibre, les moments de
− →
P et
− →
F ont la même valeur numérique :
® le moment de
− →
F est F × OT = kx × r
® le moment de
− →
P est P × OC
= P × OB
cos θ = mg × d cos θ.
La distance x est égale à la longueur de l’arc
T T
, donc x = rθ. La condition
d’équilibre s’écrit kxr = kr
2 θ = mgd cos θ, c’est-à-dire
(1)
θ =
mgd
kr
2
cos θ
Puisqu’il existe évidemment une position d’équilibre, l’équation (1) a une solution
θ e . On peut le démontrer en introduisant la fonction continue u(θ) =
mgd
kr
2
cos θ − θ.
La valeur u(0) = mgd/kr
2 est positive et u(π/2) = −π/2 < 0 : d’après le théorème
des valeurs intermédiaires, l’équation (1) a au moins une solution entre 0 et π/2.
La fonction θ → cos θ étant strictement décroissante sur [0, π/2], u est strictement
décroissante entre 0 et π/2, donc la solution θ e est unique.
Posons K =
mgd
kr
2
et f (θ) = K cosθ. Puisque f (θ e ) = θ e , la solution θ e est un point fixe
de la fonction f . On a f
(θ) = −K sin θ,
f
(θ)
K et l’inégalité des accroissements
finis pour la fonction f entre θ et θ e s’écrit :
(2)
f (θ) − f (θ e )
K|θ − θ e |
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 299
fonction f sur ce segment.
Exemple. Le dispositif ci-dessous montre un disque mobile autour d’un axe
horizontal en O. Le point T , à la verticale de O, est relié à un ressort R par un fil AT .
Au point B situé à l’horizontale de O, on laisse pendre une masse m. La roue tourne
alors d’un angle θ, le ressort s’allonge de AA
=x et le fil s’enroule le long de l’arc
T T
.
O
O
B
B
m
m
C
r
d
θ
θ
R
R
A
A
T
T
A
x
T
Notons r le rayon de la roue et d la distance OB. À l’équilibre, le point d’attache
du poids est en B
et le vecteur
− − − − − − − →
OB
fait l’angle θ avec l’horizontale.
Le poids
− →
P appliqué en B
a pour valeur mg et le ressort exerce en T une force
de rappel
− →
F horizontale d’intensité kx, où k est le coefficient de dureté du ressort.
À l’équilibre, les moments de
− →
P et
− →
F ont la même valeur numérique :
® le moment de
− →
F est F × OT = kx × r
® le moment de
− →
P est P × OC
= P × OB
cos θ = mg × d cos θ.
La distance x est égale à la longueur de l’arc
T T
, donc x = rθ. La condition
d’équilibre s’écrit kxr = kr
2 θ = mgd cos θ, c’est-à-dire
(1)
θ =
mgd
kr
2
cos θ
Puisqu’il existe évidemment une position d’équilibre, l’équation (1) a une solution
θ e . On peut le démontrer en introduisant la fonction continue u(θ) =
mgd
kr
2
cos θ − θ.
La valeur u(0) = mgd/kr
2 est positive et u(π/2) = −π/2 < 0 : d’après le théorème
des valeurs intermédiaires, l’équation (1) a au moins une solution entre 0 et π/2.
La fonction θ → cos θ étant strictement décroissante sur [0, π/2], u est strictement
décroissante entre 0 et π/2, donc la solution θ e est unique.
Posons K =
mgd
kr
2
et f (θ) = K cosθ. Puisque f (θ e ) = θ e , la solution θ e est un point fixe
de la fonction f . On a f
(θ) = −K sin θ,
f
(θ)
K et l’inégalité des accroissements
finis pour la fonction f entre θ et θ e s’écrit :
(2)
f (θ) − f (θ e )
K|θ − θ e |
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
ERIV ´
EE ET DE L’INT ´
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