Application aux primitives
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit x 0 ∈ I .
® Si F est une primitive de f , alors F (x) − F (x 0 ) =
x
x 0
f (t) dt.
® Toute primitive de f s’écrit F (x) =
x
x 0
f (t) dt + c, où c est une constante.
On sait que la fonction U (x) =
x
x 0
f (t) dt est une primitive de f telle que U (x 0 ) = 0. Si
F est une autre primitive de f , alors U
= f = F
, U
− F
= 0, donc la fonction U − F
est constante. Comme cette fonction prend en x 0 la valeur U (x 0 ) − F (x 0 ) = −F (x 0 ),
on en déduit U (x) = F (x) − F (x 0 ) pour tout x ∈ I .
Notation. On notera simplement
f (t) dt une primitive de f . On écrit alors par
exemple sin x =
cos t dt : c’est une égalité de fonctions à constante près.
Les primitives suivantes s’obtiennent par dérivation, en vérifiant simplement que dans
chaque cas, la dérivée du second membre est égale à la fonction sous le signe intégrale.
Primitives usuelles
t
α dt = 1
α + 1
x
α+1 , si α = −1
dt
at + b
= 1
a
ln |ax + b|
e
at dt = 1
a
e
ax
ln t dt = x ln x − x
cos(at) dt = 1
a
sin(ax)
sin(at) dt = − 1
a
cos(ax)
dt
cos
2 t
= tan x
dt
sin
2 t
= − 1
tan x
dt
a
2 + t
2
= 1
a
Arc tan x
a
dt
a
2
− t
2
= 1
2a
ln
a + x
a − x
dt
a 2 + t 2
= ln
x +
a 2 + x 2
dt
a 2 − t 2
= Arc sin x
a
dt
t 2 − a 2
= ln
x +
x 2 − a 2
L'inégalité des accroissements finis
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I . Appliquons le théorème des accroissements finis entre des nombres x et y de I et prenons les valeurs absolues : on
obtient
f (x) − f (y)
= |x − y|
f
(z)
, où z est un certain nombre compris entre x et y.
Proposition. Supposons qu’on a la majoration |f
(t)| M pour tout t ∈ I . Alors pour
tous nombres x et y dans I , on a
f (x) − f (y)
M |x − y|.
Cette majoration très importante s’appelle l’inégalité des accroissements finis.
Si l’on connaît un majorant de la fonction t → |f
(t)| sur un segment, l’inégalité
298 – ´
ETUDE DES VARIATIONS D’UNE FONCTION
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit x 0 ∈ I .
® Si F est une primitive de f , alors F (x) − F (x 0 ) =
x
x 0
f (t) dt.
® Toute primitive de f s’écrit F (x) =
x
x 0
f (t) dt + c, où c est une constante.
On sait que la fonction U (x) =
x
x 0
f (t) dt est une primitive de f telle que U (x 0 ) = 0. Si
F est une autre primitive de f , alors U
= f = F
, U
− F
= 0, donc la fonction U − F
est constante. Comme cette fonction prend en x 0 la valeur U (x 0 ) − F (x 0 ) = −F (x 0 ),
on en déduit U (x) = F (x) − F (x 0 ) pour tout x ∈ I .
Notation. On notera simplement
f (t) dt une primitive de f . On écrit alors par
exemple sin x =
cos t dt : c’est une égalité de fonctions à constante près.
Les primitives suivantes s’obtiennent par dérivation, en vérifiant simplement que dans
chaque cas, la dérivée du second membre est égale à la fonction sous le signe intégrale.
Primitives usuelles
t
α dt = 1
α + 1
x
α+1 , si α = −1
dt
at + b
= 1
a
ln |ax + b|
e
at dt = 1
a
e
ax
ln t dt = x ln x − x
cos(at) dt = 1
a
sin(ax)
sin(at) dt = − 1
a
cos(ax)
dt
cos
2 t
= tan x
dt
sin
2 t
= − 1
tan x
dt
a
2 + t
2
= 1
a
Arc tan x
a
dt
a
2
− t
2
= 1
2a
ln
a + x
a − x
dt
a 2 + t 2
= ln
x +
a 2 + x 2
dt
a 2 − t 2
= Arc sin x
a
dt
t 2 − a 2
= ln
x +
x 2 − a 2
L'inégalité des accroissements finis
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I . Appliquons le théorème des accroissements finis entre des nombres x et y de I et prenons les valeurs absolues : on
obtient
f (x) − f (y)
= |x − y|
f
(z)
, où z est un certain nombre compris entre x et y.
Proposition. Supposons qu’on a la majoration |f
(t)| M pour tout t ∈ I . Alors pour
tous nombres x et y dans I , on a
f (x) − f (y)
M |x − y|.
Cette majoration très importante s’appelle l’inégalité des accroissements finis.
Si l’on connaît un majorant de la fonction t → |f
(t)| sur un segment, l’inégalité
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ETUDE DES VARIATIONS D’UNE FONCTION