Chapitre 10
Utilisation de la
dérivée et de l'intégrale
1. Étude des variations d'une fonction
La dérivée f
(a) d’une fonction f en un point a est le taux de proportionnalité entre
les infiniments petits f (x)−f (a) et x−a, quand x tend vers a : la dérivée en a ne
fait intervenir que les valeurs f (x) pour x voisin de a.
Nous allons voir que si f a une dérivée en tout point d’un intervalle I , les nombres
f
(x) donnent un contrôle sur tous les taux d’accroissement
f (b)−f (a)
b−a
, quels que
soient a et b dans I .
x
b
c
a
y
=
f (b) − f (a)
b − a
f
(c)
La tangente en c
est parallèle à la corde
Théorème des accroissements finis. Soit f une fonction dérivable
sur un intervalle I . Pour tous nombres a et b dans I , il existe un nombre
c strictement compris entre a et b tel que f (b) − f (a) = (b − a)f
(c).
Démonstration. Posons k =
f (b) − f (a)
b − a
et ϕ(x) = k(x − a) + f (a).
Les fonctions f et ϕ sont continues, donc aussi leur différence u(x) =
f (x) − ϕ(x). D’après les propriétés des fonctions continues sur un segment, il y a un nombre c entre a et b où u(x) atteint son maximum
(page 283). On sait qu’en ce point c, la tangente au graphe de u est horizontale, donc
u
(c) = f
(c) − ϕ
(c) = 0. Puisque ϕ
(x) = k, il vient f
(c) = k.
Une première conséquence du théorème, c’est qu’au moyen de la dérivée, on peut
caractériser les fonctions constantes, les fonctions croissantes et les fonctions décroissantes.
Caractérisation des fonctions constantes. Si f
(x) = 0 pour tout x ∈ I , alors f est
constante.
Caractérisation des fonctions monotones
® Si f
(x)0 pour tout x∈I , alors f est croissante sur I . Si f
(x)>0 sauf peut-être
pour un nombre fini de valeurs de x, alors f est strictement croissante sur I .
® De même, si f
(x) 0 pour tout x ∈ I , f est décroissante sur I .
Chapitre 10 – UTILISATION DE LA D ´
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EE ET DE L’INT ´
EGRALE – 297