5
@ . Somme de plusieurs fonctions périodiques. On dit qu’une fonction f est périodique (de
période T = 0) si l’on a f (x+T ) = f (x) quel que soit x ∈ R.
a) Soit f une fonction périodique de période T et dérivable. Montrer que f
est
périodique de période T . Montrer que la fonction 1+ cos x est périodique, mais
qu’elle n’a aucune primitive périodique.
b) Posons f (x) = asinαx + bsinβx, où a,b,α,β sont des nombres réels tous non nuls.
Nous allons voir que f ne peut être périodique que si β/α est un nombre rationnel.
(i) Supposons que f est périodique de période T . En considérant f
, montrer que
a sin αT + b sin βT = 0
aα
2 sin αT + bβ
2 sin βT = 0
. Montrer que si α = ±β , alors sin αT = sin βT = 0.
En déduire qu’il existe des entiers n et k tels que β/α = n/k.
(ii) Montrer que si β/α = n/k, avec n et k entiers, alors f a pour période 2πk
α
.
c) Montrer que la fonction sin
x
2
+ϕ
+ sin(
√
3 x) n’est pas périodique (en procédant
comme ci-dessus, montrer que si cette fonction avait une période T , alors on
aurait sin
T
2
+ϕ
= sin ϕ, puis en déduire une contradiction).
d) Soit q un entier positif. La fonction 2sin3x+sin 2x
3
−cos x
q
est périodique : quelle est
sa période ? (la réponse n’est pas la même selon que q est multiple de 3, ou non).
6. À la distance r du centre d’une artère de rayon R, la vitesse du sang est v =c(R
2
−r
2 ),
où c est une constante. Quand on administre une substance par voie intraveineuse, l’artère se dilate légèrement, à un rythme constant ρ= dR
dt
. De combien varie la vitesse du
sang à la distance r du centre ? (c=3,2.10
3 cm
−1 s
−1 , R=0,5 cm et ρ=5.10
−3 cm s
−1 )
7
@ . Utilisation de la différentielle logarithmique. Un ballon sphérique en matière élastique,
rempli d’air, subit simultanément une variation relative de pression de 5% et une
variation relative de température de 2%. On suppose que l’air suit la loi P V
γ /T =
constante, où P est la pression, V le volume, T la température absolue et où γ = 1,4.
Quelle est la variation relative du diamètre du ballon ?
8. Au cours d’un trajet sur autoroute, un automobiliste a parcouru 200 km en deux
heures (avec des arrêts éventuels). On mesure le temps t en heures et l’on note f (t)
le nombre de kilomètres parcourus depuis le départ. Posons g(t) = f (t + 1) − f (t)
pour 0 t 1.
a) Montrer que g(t) est positif ou nul et que g(0) + g(1) = 200. En déduire que la
fonction g(t) − 100 ne garde pas un signe constant.
b) Montrer qu’il existe une durée d’une heure pendant laquelle l’automobiliste a
parcouru exactement 100 km.
294 – EXERCICES
@ . Somme de plusieurs fonctions périodiques. On dit qu’une fonction f est périodique (de
période T = 0) si l’on a f (x+T ) = f (x) quel que soit x ∈ R.
a) Soit f une fonction périodique de période T et dérivable. Montrer que f
est
périodique de période T . Montrer que la fonction 1+ cos x est périodique, mais
qu’elle n’a aucune primitive périodique.
b) Posons f (x) = asinαx + bsinβx, où a,b,α,β sont des nombres réels tous non nuls.
Nous allons voir que f ne peut être périodique que si β/α est un nombre rationnel.
(i) Supposons que f est périodique de période T . En considérant f
, montrer que
a sin αT + b sin βT = 0
aα
2 sin αT + bβ
2 sin βT = 0
. Montrer que si α = ±β , alors sin αT = sin βT = 0.
En déduire qu’il existe des entiers n et k tels que β/α = n/k.
(ii) Montrer que si β/α = n/k, avec n et k entiers, alors f a pour période 2πk
α
.
c) Montrer que la fonction sin
x
2
+ϕ
+ sin(
√
3 x) n’est pas périodique (en procédant
comme ci-dessus, montrer que si cette fonction avait une période T , alors on
aurait sin
T
2
+ϕ
= sin ϕ, puis en déduire une contradiction).
d) Soit q un entier positif. La fonction 2sin3x+sin 2x
3
−cos x
q
est périodique : quelle est
sa période ? (la réponse n’est pas la même selon que q est multiple de 3, ou non).
6. À la distance r du centre d’une artère de rayon R, la vitesse du sang est v =c(R
2
−r
2 ),
où c est une constante. Quand on administre une substance par voie intraveineuse, l’artère se dilate légèrement, à un rythme constant ρ= dR
dt
. De combien varie la vitesse du
sang à la distance r du centre ? (c=3,2.10
3 cm
−1 s
−1 , R=0,5 cm et ρ=5.10
−3 cm s
−1 )
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@ . Utilisation de la différentielle logarithmique. Un ballon sphérique en matière élastique,
rempli d’air, subit simultanément une variation relative de pression de 5% et une
variation relative de température de 2%. On suppose que l’air suit la loi P V
γ /T =
constante, où P est la pression, V le volume, T la température absolue et où γ = 1,4.
Quelle est la variation relative du diamètre du ballon ?
8. Au cours d’un trajet sur autoroute, un automobiliste a parcouru 200 km en deux
heures (avec des arrêts éventuels). On mesure le temps t en heures et l’on note f (t)
le nombre de kilomètres parcourus depuis le départ. Posons g(t) = f (t + 1) − f (t)
pour 0 t 1.
a) Montrer que g(t) est positif ou nul et que g(0) + g(1) = 200. En déduire que la
fonction g(t) − 100 ne garde pas un signe constant.
b) Montrer qu’il existe une durée d’une heure pendant laquelle l’automobiliste a
parcouru exactement 100 km.
294 – EXERCICES