graphe de f (x) :
x
y
(a)
x
y
(b)
x
y
(c)
x
y
(d)
graphe de
f (x)
2 :
x
y
(1)
x
y
(2)
x
y
(3)
x
y
(4)
graphe de
f (x) :
x
y
(i)
x
y
(ii)
x
y
(iii)
x
y
(iv)
3. Application de la formule de Stirling. Montrer que le coefficient binomial
2n
n
est
équivalent à 1
√
π
4
n
√
n
quand n tend vers l’infini.
4
@ . Étude d'un point fixe
a) Représenter sur un même dessin les graphes des fonctions x, e
−(1/2)x , e
−x et e
−2x .
Étant donné un nombre réel a 0, quel est le signe de e
−ax
−x pour x très
grand ? Quel est le signe pour x < 0 ? Montrer que, pour tout a 0, la fonction
f (x) = e
−ax a un unique point fixe ; on note s(a) ce point fixe.
b) Que vaut s(0) ? Montrer que l’on a e
−ax
−x > 0 si 0 x < s(a) et e
−ax
−x < 0
si x > s(a). Montrer que si 0 < a < b, alors e
−as(b)
−s(b) > 0. En déduire que la
fonction a → s(a) est décroissante. Montrer que s(a) tend vers 0 quand a tend
vers +∞ (raisonner par l’absurde en supposant que la limite est un nombre > 0
et en utilisant l’égalité as(a) = − ln s(a)).
c) Montrer que la fonction t → ts(t) est croissante et que l’on a s(t)
t→+∞
1/t (utiliser
le résultat précédent). Dessiner l’allure de la fonction t → s(t).
d) Admettons que la fonction s est dérivable. En utilisant l’égalité s(t) = e
−ts(t) ,
montrer que la fonction s(t) est solution de l’équation différentielle y
= −
y
2
1 + ty
.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 293