Intégrale d'une fonction paire ou impaire. Soit f une fonction continue sur
[−a, a]. Posons F (x) =
x
0
f (t) dt, pour tout x ∈ [−a, a].
® Si la fonction f est paire, alors
−x
0
f (t) dt = −
x
0
f (t) dt et
x
−x
f (t) dt = 2
x
0
f (t) dt , pour tout x ∈ [−a, a].
® Si f est impaire, alors
−x
0
f (t) dt =
x
0
f (t) dt et
x
−x
f (t) dt = 0 , pour tout x ∈ [−a, a].
Posons en effet F (x)=
x
0
f (t) dt. La dérivée de F (−x) est −F
(−x)=−f (−x), car F
=f .
Si f est paire, alors d
dx
F (−x)
= −f (−x) = −f (x) = d
dx
−F (x)
. Les fonctions F (−x)
et −F (x) ont la même dérivée et prennent en x = 0 la même valeur 0, donc elles sont
égales. D’après la relation de Chasles, il vient alors
x
−x
f (t) dt =
0
−x
f (t) dt +
x
0
f (t) dt =
−F (−x) + F (x) = 2F (x). On raisonne de même si f est impaire : dans ce cas, les
fonctions F (−x) et F (x) ont même dérivée et coïncident en 0, donc elles sont égales.
Exercices
1
@ . À chaque graphe d’une fonction f ci-dessous, associer le graphe de la dérivée f
.
graphe de la fonction f :
x
y
(a)
x
y
(b)
x
y
(c)
x
y
(d)
graphe de la dérivée f
:
x
y
(1)
x
y
(2)
x
y
(3)
x
y
(4)
2
@ . À chaque graphe d’une fonction f ci-dessous, associer le graphe du carré de f et
de la racine carrée de f .
292 – EXERCICES