Démonstration. Donnons-nous x 0 ∈ I et posons y 0 = f (x 0 ). Puisque f (x) = y 0 +
f (x)−y 0
,
on a
F (x) − F (x 0 ) =
x
x 0
f (t) dt =
x
x 0
y 0 dt +
x
x 0
f (t)−y 0
dt = y 0 (x−x 0 ) +
x
x 0
f (t)−y 0
dt
Posons u(x) =
x
x 0
f (t)−y 0
dt. Étant donné un nombre ε > 0, on sait que pour tout t assez
proche de x 0 , on a |f (t)−y 0 | ε, donc pour x proche de x 0 , il vient
|u(x)| =
x
x 0
f (t)−y 0
dt
x
x 0
|f (t)−y 0 | dt
x
x 0
ε dt
= |x−x 0 |ε
Ainsi u(x) est infiniment petit devant |x−x 0 | quand x tend vers x 0 . Puisque F (x) =
F (x 0 )+y 0 (x−x 0 )+u(x), cela signifie d’après la proposition page 271, que l’on a F
(x 0 )=y 0 .
Ce théorème affirme que toute fonction continue sur un intervalle possède une
primitive.
Rappel. Si F est une primitive de f sur un intervalle, les autres primitives de f sont
les fonctions F (x) + c, où c est une constante quelconque.
Nous verrons en effet au début du prochain chapitre que si l’on a F
(x)−G
(x) = 0 en
tout point x d’un intervalle, alors la fonction F −G est constante sur cet intervalle.
Exemple. Reprenons la fonction F de l’exemple page 288 et calculons U (x) =
x
−1
F (t) dt pour x ∈ [−1, 1].
Puisque F est continue sur [−1, 1], on sait que la fonction U est une primitive de
F : on a U
(x) = F (x) pour tout x ∈ ]−1, 1[.
Pour x ∈ [−1,0], on a F (x) = x + 1, donc U (x) = x
2 /2 + x + c, où c est une constante.
Par définition de U , on a U (−1) = 0, donc 1/2−1+c = 0 et c = 1/2 :
U (x) = x
2
2
+ x + 1
2
, pour tout x ∈ [−1, 0].
Supposons x ∈ [0, 1]. Alors U (x) = U (0) +
x
0
F (t) dt = 1/2 +
x
0
(−t+1) dt. L’intégrale
vaut −x
2 /2 + x + d et elle est nulle pour x = 0, donc d = 0. Par suite
U (x) = − x
2
2
+ x + 1
2
, pour tout x ∈ [0, 1].
graphe de F
x
y
1
−1
graphe de U
x
y
1
1
−1
Nous voyons que lorsqu’on intègre une fonction, on la rend plus régulière : la
fonction F n’est pas dérivable en 0, mais la fonction U est dérivable.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 291
f (x)−y 0
,
on a
F (x) − F (x 0 ) =
x
x 0
f (t) dt =
x
x 0
y 0 dt +
x
x 0
f (t)−y 0
dt = y 0 (x−x 0 ) +
x
x 0
f (t)−y 0
dt
Posons u(x) =
x
x 0
f (t)−y 0
dt. Étant donné un nombre ε > 0, on sait que pour tout t assez
proche de x 0 , on a |f (t)−y 0 | ε, donc pour x proche de x 0 , il vient
|u(x)| =
x
x 0
f (t)−y 0
dt
x
x 0
|f (t)−y 0 | dt
x
x 0
ε dt
= |x−x 0 |ε
Ainsi u(x) est infiniment petit devant |x−x 0 | quand x tend vers x 0 . Puisque F (x) =
F (x 0 )+y 0 (x−x 0 )+u(x), cela signifie d’après la proposition page 271, que l’on a F
(x 0 )=y 0 .
Ce théorème affirme que toute fonction continue sur un intervalle possède une
primitive.
Rappel. Si F est une primitive de f sur un intervalle, les autres primitives de f sont
les fonctions F (x) + c, où c est une constante quelconque.
Nous verrons en effet au début du prochain chapitre que si l’on a F
(x)−G
(x) = 0 en
tout point x d’un intervalle, alors la fonction F −G est constante sur cet intervalle.
Exemple. Reprenons la fonction F de l’exemple page 288 et calculons U (x) =
x
−1
F (t) dt pour x ∈ [−1, 1].
Puisque F est continue sur [−1, 1], on sait que la fonction U est une primitive de
F : on a U
(x) = F (x) pour tout x ∈ ]−1, 1[.
Pour x ∈ [−1,0], on a F (x) = x + 1, donc U (x) = x
2 /2 + x + c, où c est une constante.
Par définition de U , on a U (−1) = 0, donc 1/2−1+c = 0 et c = 1/2 :
U (x) = x
2
2
+ x + 1
2
, pour tout x ∈ [−1, 0].
Supposons x ∈ [0, 1]. Alors U (x) = U (0) +
x
0
F (t) dt = 1/2 +
x
0
(−t+1) dt. L’intégrale
vaut −x
2 /2 + x + d et elle est nulle pour x = 0, donc d = 0. Par suite
U (x) = − x
2
2
+ x + 1
2
, pour tout x ∈ [0, 1].
graphe de F
x
y
1
−1
graphe de U
x
y
1
1
−1
Nous voyons que lorsqu’on intègre une fonction, on la rend plus régulière : la
fonction F n’est pas dérivable en 0, mais la fonction U est dérivable.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 291