c ∈ [a, b] tel que
b
a
w(t)f (t) dt = f (c)
b
a
w(t) dt
Démonstration. Soit m le minimum de f sur [a, b] et M son maximum. Pour tout
t ∈ [a, b], on a m f (t) M , donc aussi mw(t) f (t)w(t) Mw(t), car w(t) est positif ou nul. En intégrant, on obtient m
b
a
w(t) dt
b
a
w(t)f (t) dt M
b
a
w(t) dt. Le nombre
b
a
w(t)f (t) dt
b
a
w(t) dt
est entre m et M , donc est égal à une certaine valeur f (c)
de la fonction f , d’après le théorème des valeurs intermédiaires.
En choisissant w(t) = 1 pour tout t, on obtient le résultat suivant.
Formule de la moyenne. Si f est une fonction continue sur [a, b], il existe c ∈ [a, b]
tel que
b
a
f (t) dt = (b − a)f (c).
Pour une fonction continue, la moyenne 1
b − a
b
a
f (t) dt est donc l’une des valeurs
de la fonction.
Moyenne d'une fonction monotone
Supposons que f est une fonction monotone sur [a,b] et partageons [a,b] en n segments
de même longueur h=(b−a)/n, donc d’extrémités a=a 0 ,a 1 =a+h,a 2 =a+2h,. . .,a n−1 =
a+(n−1)h,a n =b. Nous avons montré page 285 que
b − a
n
f (a 0 )+f (a 1 )+· · ·+f (a n−1 )
tend vers
b
a
f (t) dt quand n tend vers l’infini.
Quand n tend vers l’infini, 1
n
f (a 0 )+f (a 1 )+ · · · +f (a n−1 )
tend vers 1
b−a
b
a
f (t) dt.
Si l’on fait la moyenne des valeurs de f en des points régulièrement répartis dans
[a, b], on obtient des nombres qui tendent vers la moyenne de f quand le nombre
de points tend vers l’infini.
5.4 Primitives
Si une fonction f est intégrable, la fonction F (x)=
x
a
f (t) dt est continue (proposition
page 288). Nous allons voir que si f est continue, alors F (x) est dérivable.
Rappelons que, par définition, une primitive de f est une fonction Φ dérivable telle
que Φ
= f .
Théorème fondamental. Si f est une fonction continue sur un intervalle I et si a∈I ,
alors la fonction F (x)=
x
a
f (t) dt est une primitive de f : on a F
(x)=f (x) pour tout x∈I .
290 – L’INT ´
EGRALE