la fonction f
la fonction F
x
y
1
−1
x
y
1
−1
−1
La fonction f n’est pas continue en 0, mais F est continue sur [−1, 1].
Voici une proposition permettant, pour des fonctions positives, d’intégrer un infiniment petit ou un équivalent.
Proposition. Soient u et v des fonctions intégrables sur [a, b] et soit x 0 ∈ [a, b].
Supposons v(x) > 0 pour tout x = x 0 .
® Si u(x)
x→x 0
v(x), alors
x
x 0
u(t) dt
x→x 0
x
x 0
v(t) dt
.
® Si u(x) ∼
x→x 0
v(x), alors
x
x 0
u(t) dt
∼
x→x 0
x
x 0
v(t) dt
.
Démonstration. Supposons u(x) infiniment petit devant v(x) quand x tend vers x 0 .
Alors ϕ(x) =
u(x)
v(x)
tend vers 0 et u(x) = v(x) ϕ(x). Étant donné un nombre ε > 0, on a
|ϕ(x)| ε pour tout x assez proche de x 0 , donc aussi |u(x)| εv(x), car v(x) est positif.
Pour de tels x, il vient
x
x 0
u(t) dt
x
x 0
|u(t)| dt
x
x 0
εv(t) dt
= ε
x
x 0
v(t) dt
et le rapport
x
x 0
u(t) dt
x
x 0
v(t) dt
est en valeur absolue inférieur à ε.
Supposons u(x) équivalent à v(x) quand x tend vers x 0 , donc
u(x)−v(x)
x→x 0
v(x). D’après
ce qu’on vient de montrer, on a
x
x 0
u(t)−v(t)
dt
x→x 0
x
x 0
v(t) dt, ou encore
x
x 0
u(t) dt −
x
x 0
v(t) dt
x→x 0
x
x 0
v(t) dt .
Ainsi,
x
x 0
u(t) dt est équivalent à
x
x 0
v(t) dt quand x tend vers x 0 .
5.3 Moyenne d'une fonction
Définition
Si f est une fonction intégrable sur [a, b], le nombre 1
b − a
b
a
f (t) dt s’appelle la
moyenne de f sur [a, b].
Proposition. Soit f une fonction continue sur [a, b] et soit w une fonction intégrable
à valeurs positives ou nulles et d’intégrale strictement positive. Alors il existe un nombre
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 289