Pour tous nombres x, y, z dans [a, b], on a alors l’égalité :
y
x
f (t) dt +
z
y
f (t) dt =
z
x
f (t) dt
(relation de Chasles)
Inégalité fondamentale. Si f est une fonction intégrable sur [a, b], alors
b
a
f (t) dt
b
a
|f (t)| dt
Démonstration. Puisqu’on a −|f (x)|f (x)|f (x)| pour tout x, il vient en effet −
b
a
|f (t)| dt=
b
a
−|f (t)| dt
b
a
f (t) dt
b
a
|f (t)| dt.
Proposition. Soit f une fonction continue et positive ou nulle sur le segment [a, b]. Si
b
a
f (t) dt = 0, alors f (x) = 0 quel que soit x ∈ [a, b].
Démonstration. Raisonnons par l’absurde en supposant que f prend en un point c ∈ [a, b]
une valeur f (c) > 0. Puisque f est continue en c, il y a un intervalle autour de c où les valeurs
de f sont supérieures à un nombre m > 0. En appelant u et v les extrémités de cet intervalle,
on a
b
a
f (t) dt
v
u
f (t) dt, car f est positive ou nulle, d’où
b
a
f (t) dt (v−u)m > 0, ce qui
est une contradiction.
Intégrale fonction de la borne supérieure
Proposition. Si f est une fonction intégrable sur [a, b], alors la fonction x →
x
a
f (t) dt
est continue sur [a, b].
Démonstration. Posons en effet F (x) =
x
a
f (t) dt. Si x 0 ∈ [a, b], alors d’après la relation de
Chasles, on a
x
a
f (t) dt =
x 0
a
f (t) dt+
x
x 0
f (t) dt, ou encore F (x) = F (x 0 )+
x
x 0
f (t) dt. Puisque
f est majorée et minorée, il existe un nombre M tel que |f (x)| M pour tout x. D’après l’inégalité fondamentale, il vient
F (x) − F (x 0 )
x
x 0
|f (t)| dt
x
x 0
M dt
= M |x − x 0 |. Quand
x tend vers x 0 , |x − x 0 | tend vers 0 et donc F (x) tend vers F (x 0 ).
Exemple. Prenons la fonction en escalier définie sur [−1,1] par f (x)=1 si −1x0
et f (x) = −1 si 0 < x 1. Posons F (x) =
x
−1
f (t) dt.
® Si x ∈ [−1, 0] : alors f (t) = 1 sur l’intervalle [−1, x], donc F (x) =
x
−1
1 dt = x+1.
® Si x ∈ ]0,1] : alors f (t) = −1 sur l’intervalle ]0,x], donc
x
0
f (t) dt =
x
0
(−1) dt = −x
et F (x) =
0
−1
f (t) dt +
x
0
f (t) dt = F (0) − x = 1 − x.
288 – L’INT ´
EGRALE