L(y) − L 0
L 1 − L 0
=
y − y 0
y 1 − y 0
=
y − y 0
H
d’où L(y) = L 0 +
L 1 − L 0
H
(y −y 0 ) =
L 1 − L 0
H
y +L 0 −
L 1 − L 0
H
y 0 . Il vient, puisque ρ = 1 :
F =
y 1
y 0
−yL(y) dy =
y 1
y 0
−
L 1 − L 0
H
y
2
−
L 0 y 1 − L 1 y 0
H
y
dy
5.2 Propriétés de l'intégrale
Elles résultent des propriétés de l’intégrale d’une fonction en escalier.
Supposons que u est une fonction en escalier, constante sur les intervalles d’extrémités
a = a 0 < a 1 < · · · < a n−1 < a n = b.
Pour tout nombre réel λ, la fonction λu : x → λu(x) est constante sur ces mêmes
intervalles, donc est en escalier, et l’on a I(λu) = λI(u).
Soit u
une fonction en escalier constante sur les intervalles d’extrémités a
i , on définit un partage de [a, b] en intervalles
sur lesquels u et u
sont constantes : les fonctions u + u
et uu
sont alors constantes
sur ces intervalles. Remarquons que l’on a I(u + u
) = I(u) + I(u
) et que si u est une
fonction en escalier positive ou nulle, alors I(u) est un nombre positif ou nul.
En passant à la limite quand la longueur des intervalles tend vers 0, on obtient les
propriétés suivantes.
a) Si f est intégrable sur [a, b], alors pour tout nombre λ, la fonction x → λf (x) est
intégrable et l’on a
b
a
λf (t) dt = λ
b
a
f (t) dt.
b) Si f et g sont intégrables sur [a, b], alors la fonction x → f (x) + g(x) est intégrable
et l’on a
b
a
f (t)+g(t)
dt =
b
a
f (t) dt +
b
a
g(t) dt.
c) Si f (x) 0 pour tout x, alors
b
a
f (t) dt 0.
d) Si f et g sont intégrables sur [a, b], leur produit x → f (x)g(x) est intégrable.
Les deux premières propriétés signifient que l’ensemble des fonctions intégrables sur
[a, b] est un espace vectoriel et que l’application f →
b
a
f (t) dt est une application
linéaire.
La propriété (c) affirme que l’intégrale d’une fonction positive ou nulle est positive
ou nulle. Si f et g sont intégrables et si f g, alors la fonction f −g est positive
ou nulle, donc son intégrale aussi :
si f (x) g(x) pour tout x ∈ [a, b], alors
b
a
f (t) dt
b
a
g(t) dt.
Si f est intégrable sur [a, b], elle est intégrable sur tout segment [c, d] inclus dans
[a, b]. On pose :
c
d
f (t) dt = −
d
c
f (t) dt et
c
c
f (t) dt = 0 pour tous nombres c et d dans [a, b].
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 287
L 1 − L 0
=
y − y 0
y 1 − y 0
=
y − y 0
H
d’où L(y) = L 0 +
L 1 − L 0
H
(y −y 0 ) =
L 1 − L 0
H
y +L 0 −
L 1 − L 0
H
y 0 . Il vient, puisque ρ = 1 :
F =
y 1
y 0
−yL(y) dy =
y 1
y 0
−
L 1 − L 0
H
y
2
−
L 0 y 1 − L 1 y 0
H
y
dy
5.2 Propriétés de l'intégrale
Elles résultent des propriétés de l’intégrale d’une fonction en escalier.
Supposons que u est une fonction en escalier, constante sur les intervalles d’extrémités
a = a 0 < a 1 < · · · < a n−1 < a n = b.
Pour tout nombre réel λ, la fonction λu : x → λu(x) est constante sur ces mêmes
intervalles, donc est en escalier, et l’on a I(λu) = λI(u).
Soit u
une fonction en escalier constante sur les intervalles d’extrémités a
i , on définit un partage de [a, b] en intervalles
sur lesquels u et u
sont constantes : les fonctions u + u
et uu
sont alors constantes
sur ces intervalles. Remarquons que l’on a I(u + u
) = I(u) + I(u
) et que si u est une
fonction en escalier positive ou nulle, alors I(u) est un nombre positif ou nul.
En passant à la limite quand la longueur des intervalles tend vers 0, on obtient les
propriétés suivantes.
a) Si f est intégrable sur [a, b], alors pour tout nombre λ, la fonction x → λf (x) est
intégrable et l’on a
b
a
λf (t) dt = λ
b
a
f (t) dt.
b) Si f et g sont intégrables sur [a, b], alors la fonction x → f (x) + g(x) est intégrable
et l’on a
b
a
f (t)+g(t)
dt =
b
a
f (t) dt +
b
a
g(t) dt.
c) Si f (x) 0 pour tout x, alors
b
a
f (t) dt 0.
d) Si f et g sont intégrables sur [a, b], leur produit x → f (x)g(x) est intégrable.
Les deux premières propriétés signifient que l’ensemble des fonctions intégrables sur
[a, b] est un espace vectoriel et que l’application f →
b
a
f (t) dt est une application
linéaire.
La propriété (c) affirme que l’intégrale d’une fonction positive ou nulle est positive
ou nulle. Si f et g sont intégrables et si f g, alors la fonction f −g est positive
ou nulle, donc son intégrale aussi :
si f (x) g(x) pour tout x ∈ [a, b], alors
b
a
f (t) dt
b
a
g(t) dt.
Si f est intégrable sur [a, b], elle est intégrable sur tout segment [c, d] inclus dans
[a, b]. On pose :
c
d
f (t) dt = −
d
c
f (t) dt et
c
c
f (t) dt = 0 pour tous nombres c et d dans [a, b].
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
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