segments I 1 , . . . , I n , il vient
I(v) − I(u) ε
b − a
1 + · · · + ε
b − a
n = ε
b − a
( 1 + · · · + n ) = ε
b − a
(b − a) = ε .
Existence de l'intégrale. Si une fonction f : [a, b] → R est intégrable, il existe un
unique nombre I(f ), appelé l’intégrale de f , tel que I(u)I(f )I(v) pour toutes fonctions
en escalier u et v vérifiant u(x) f (x) v(x). L’intégrale de f se note
b
a
f (t) dt.
Nous admettons l’existence de l’intégrale. On peut aussi montrer que les fonctions en
escalier obtenues en subdivisant [a, b] en sous-intervalles de plus en plus petits ont
leur intégrale qui tend vers l’intégrale de f (pour une fonction f monotone ou continue, cela ressort des démonstrations ci-dessus.) Intuitivement, l’intégrale de f sur
[a, b] est bien l’aire algébrique comprise entre l’axe des abscisses et le graphe de f .
x
y
a
b
f (x)
x x+ dx
Le signe
évoque la lettre S , initiale de « somme » et la
notation
b
a
f (t) dt suggère qu’il faut penser l’intégrale
comme la limite d’une somme de quantités infiniment
petites δy = f (x)δx : on imagine que δy est l’aire d’un
rectangle de hauteur f (x) et de base infiniment petite δx.
Raisonnement par infiniments petits. En Physique, on raisonne souvent en
décomposant une quantité en une « somme d’infiniments petits » : cela conduit
finalement à exprimer cette quantité sous la forme d’une intégrale.
Exemple. La pression exercée sur un objet immergé dans un fluide à la profondeur
h est P = ρh, où ρ est la masse volumique du fluide. Cherchons la force exercée
sur une plaque verticale immergée.
y 0
y
y
y
1
O
δy {
L(y)
h(y)
Choisissons un axe vertical Oy et considérons dans la
plaque une tranche horizontale de hauteur infiniment petite δy située à la profondeur h ; sa longueur L est fonction
de y. Sur cette tranche d’aire Lδy, le fluide exerce une
force horizontale d’intensité P Lδy = ρhLδy. On en déduit
que la force exercée sur la plaque a pour intensité
F =
y 1
y 0
ρh(y)L(y) dy
où y 0 et y 1 sont les valeurs de y à la base et au sommet de la plaque.
y 0
y
y
y
1
O
h(y)
L(y)
H
L 0
L 1
Supposons par exemple qu’un canal est fermé par une
vanne coulissante en forme de trapèze. Dirigeons l’axe Oy
vers le haut et prenons son origine à la surface de l’eau.
La profondeur est donc h(y) = −y. Notons L 0 la longueur
de la base inférieure de la plaque, L 1 la longueur du coté
supérieur et H la hauteur. Entre y 0 et y 1 , L(y) varie proportionnellement :
286 – L’INT ´
EGRALE
I(v) − I(u) ε
b − a
1 + · · · + ε
b − a
n = ε
b − a
( 1 + · · · + n ) = ε
b − a
(b − a) = ε .
Existence de l'intégrale. Si une fonction f : [a, b] → R est intégrable, il existe un
unique nombre I(f ), appelé l’intégrale de f , tel que I(u)I(f )I(v) pour toutes fonctions
en escalier u et v vérifiant u(x) f (x) v(x). L’intégrale de f se note
b
a
f (t) dt.
Nous admettons l’existence de l’intégrale. On peut aussi montrer que les fonctions en
escalier obtenues en subdivisant [a, b] en sous-intervalles de plus en plus petits ont
leur intégrale qui tend vers l’intégrale de f (pour une fonction f monotone ou continue, cela ressort des démonstrations ci-dessus.) Intuitivement, l’intégrale de f sur
[a, b] est bien l’aire algébrique comprise entre l’axe des abscisses et le graphe de f .
x
y
a
b
f (x)
x x+ dx
Le signe
évoque la lettre S , initiale de « somme » et la
notation
b
a
f (t) dt suggère qu’il faut penser l’intégrale
comme la limite d’une somme de quantités infiniment
petites δy = f (x)δx : on imagine que δy est l’aire d’un
rectangle de hauteur f (x) et de base infiniment petite δx.
Raisonnement par infiniments petits. En Physique, on raisonne souvent en
décomposant une quantité en une « somme d’infiniments petits » : cela conduit
finalement à exprimer cette quantité sous la forme d’une intégrale.
Exemple. La pression exercée sur un objet immergé dans un fluide à la profondeur
h est P = ρh, où ρ est la masse volumique du fluide. Cherchons la force exercée
sur une plaque verticale immergée.
y 0
y
y
y
1
O
δy {
L(y)
h(y)
Choisissons un axe vertical Oy et considérons dans la
plaque une tranche horizontale de hauteur infiniment petite δy située à la profondeur h ; sa longueur L est fonction
de y. Sur cette tranche d’aire Lδy, le fluide exerce une
force horizontale d’intensité P Lδy = ρhLδy. On en déduit
que la force exercée sur la plaque a pour intensité
F =
y 1
y 0
ρh(y)L(y) dy
où y 0 et y 1 sont les valeurs de y à la base et au sommet de la plaque.
y 0
y
y
y
1
O
h(y)
L(y)
H
L 0
L 1
Supposons par exemple qu’un canal est fermé par une
vanne coulissante en forme de trapèze. Dirigeons l’axe Oy
vers le haut et prenons son origine à la surface de l’eau.
La profondeur est donc h(y) = −y. Notons L 0 la longueur
de la base inférieure de la plaque, L 1 la longueur du coté
supérieur et H la hauteur. Entre y 0 et y 1 , L(y) varie proportionnellement :
286 – L’INT ´
EGRALE