l’encadrement
I(u) = u 1 1 + u 2 2 + u 3 3 + u 4 4 + u 5 5 A v 1 1 + v 2 2 + v 3 3 + v 4 4 + v 5 5 = I(v)
Si l’on peut construire des encadrements de plus en plus précis, de manière que
I(v) − I(u) tende vers 0, on prendra comme définition de l’intégrale de f la limite
commune des nombres I(u) et I(v).
Définition
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur le segment [a, b]. On dit que f
est intégrable si pour tout nombre ε > 0, il existe des fonctions en escalier u et v
telles que u(x) f (x) v(x) pour tout x ∈ [a, b] et I(v) − I(u) ε.
Toute fonction intégrable est à la fois majorée et minorée.
Théorème. Une fonction monotone sur un segment est intégrable.
Démonstration. Partageons le segment [a, b] en n parties égales de longueur = (b − a)/n :
I 1 = [a, a 1 ] , I 2 = [a 1 , a 2 ] , . . . , I n = [a n−1 , b] ,
où a 1 = a + , a 2 = a + 2, . . . , a n−1 = a + (n − 1) ; posons de plus a 0 = a et a n = b. Si f est
une fonction croissante sur [a, b], définissons des fonctions en escalier u et v comme suit :
u(x) = f (a i ) et v(x) = f (a i+1 ) , si x ∈ [a i , a i+1 [ et 0 i n − 1
x
y
a
b
a 1 a 2 a 3 a 4
u
v
f
Pour tout x dans l’intervalle [a i , a i+1 [, on a u(x) = f (a i )
f (x) f (a i+1 ) = v(x), car f est croissante : les fonctions u et v
encadrent donc f . Par définition, les intégrales de u et de v sont
I(u) = f (a 0 ) + f (a 1 ) + · · · f (a n−1 )
I(v) = f (a 1 ) + . . . + f (a n−1 ) + f (a n ) ,
donc
I(v)−I(u)=f (a n )−f (a 0 )=
f (b)−f (a)
=
f (b)−f (a)
b − a
n
·
Puisque
b − a
n
tend vers 0 quand n tend vers l’infini, on a ainsi construit des fonctions en
escalier u et v qui encadrent f et telles que I(v) − I(u) soit aussi petit qu’on veut.
Théorème. Une fonction continue sur un segment est intégrable.
Démonstration. En utilisant la propriété (b) énoncée page 283, nous allons construire pour
tout nombre ε > 0, des fonctions en escalier u et v telles que u(x) f v(x) et I(v) − I(u) ε.
– On partage le segment [a, b] en n sous-segments I 1 , . . . , I n sur chacun desquels f varie
d’au plus ε/(b−a) ;
– Puisque f est continue sur le segment I k , elle a un maximum sur I k : on prend ce maximum comme valeur de v(x) pour x ∈ I k (extrémité droite exclue). De même, on définit u
en lui donnant sur I k la valeur minimum de f sur I k .
Pour tout x ∈ I k , on a u(x) f (x) v(x) et comme les valeurs f (x) varient d’au plus ε/(b−a)
sur I k , on a v(x) − u(x) ε/(b−a) quel que soit x. En notant 1 , . . . , , n les longueurs des
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 285
I(u) = u 1 1 + u 2 2 + u 3 3 + u 4 4 + u 5 5 A v 1 1 + v 2 2 + v 3 3 + v 4 4 + v 5 5 = I(v)
Si l’on peut construire des encadrements de plus en plus précis, de manière que
I(v) − I(u) tende vers 0, on prendra comme définition de l’intégrale de f la limite
commune des nombres I(u) et I(v).
Définition
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur le segment [a, b]. On dit que f
est intégrable si pour tout nombre ε > 0, il existe des fonctions en escalier u et v
telles que u(x) f (x) v(x) pour tout x ∈ [a, b] et I(v) − I(u) ε.
Toute fonction intégrable est à la fois majorée et minorée.
Théorème. Une fonction monotone sur un segment est intégrable.
Démonstration. Partageons le segment [a, b] en n parties égales de longueur = (b − a)/n :
I 1 = [a, a 1 ] , I 2 = [a 1 , a 2 ] , . . . , I n = [a n−1 , b] ,
où a 1 = a + , a 2 = a + 2, . . . , a n−1 = a + (n − 1) ; posons de plus a 0 = a et a n = b. Si f est
une fonction croissante sur [a, b], définissons des fonctions en escalier u et v comme suit :
u(x) = f (a i ) et v(x) = f (a i+1 ) , si x ∈ [a i , a i+1 [ et 0 i n − 1
x
y
a
b
a 1 a 2 a 3 a 4
u
v
f
Pour tout x dans l’intervalle [a i , a i+1 [, on a u(x) = f (a i )
f (x) f (a i+1 ) = v(x), car f est croissante : les fonctions u et v
encadrent donc f . Par définition, les intégrales de u et de v sont
I(u) = f (a 0 ) + f (a 1 ) + · · · f (a n−1 )
I(v) = f (a 1 ) + . . . + f (a n−1 ) + f (a n ) ,
donc
I(v)−I(u)=f (a n )−f (a 0 )=
f (b)−f (a)
=
f (b)−f (a)
b − a
n
·
Puisque
b − a
n
tend vers 0 quand n tend vers l’infini, on a ainsi construit des fonctions en
escalier u et v qui encadrent f et telles que I(v) − I(u) soit aussi petit qu’on veut.
Théorème. Une fonction continue sur un segment est intégrable.
Démonstration. En utilisant la propriété (b) énoncée page 283, nous allons construire pour
tout nombre ε > 0, des fonctions en escalier u et v telles que u(x) f v(x) et I(v) − I(u) ε.
– On partage le segment [a, b] en n sous-segments I 1 , . . . , I n sur chacun desquels f varie
d’au plus ε/(b−a) ;
– Puisque f est continue sur le segment I k , elle a un maximum sur I k : on prend ce maximum comme valeur de v(x) pour x ∈ I k (extrémité droite exclue). De même, on définit u
en lui donnant sur I k la valeur minimum de f sur I k .
Pour tout x ∈ I k , on a u(x) f (x) v(x) et comme les valeurs f (x) varient d’au plus ε/(b−a)
sur I k , on a v(x) − u(x) ε/(b−a) quel que soit x. En notant 1 , . . . , , n les longueurs des
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