® Si une fonction n’est pas continue en un point d’un segment, elle n’a pas forcément non
plus de maximum sur ce segment : par exemple, en désignant par E(x) la partie entière
du nombre x, la fonction x → x−E(x) n’atteint pas son maximum sur [0, 1] (figure 2).
1
1
0
figure 1
1
1
0
figure 2
La propriété (b) s’appelle la continuité uniforme. Elle exprime que si l’on se donne
ε > 0, alors il existe α > 0 tel que, pour tous x et y dans [a, b] vérifiant |x − y| α,
on a |f (x) − f (y)| ε.
Une fonction continue sur un intervalle I qui n’est pas un segment n’a pas forcément
la propriété de continuité uniforme.
Par exemple, pour la fonction f : R → R définie par f (x) = x
2 , les valeurs x n = n et
y n = x n + 1/n sont très proches lorsque n est assez grand, mais les valeurs f (x n ) = n
2 et
f (y n ) = (n + 1/n)
2 diffèrent toujours de f (y n ) − f (x n ) = (n + 1/n)
2
− n
2 = 2 + (1/n)
2 > 2.
5. L'intégrale
5.1 Définition de l'intégrale
Il s’agit de mesurer l’aire comprise entre le graphe d’une fonction et l’axe des x, sur
un segment donné I = [a, b].
v 1
v 2
v 3
1
2
3
a
b
figure 1
Pour cette question, les fonctions les plus simples sont les « fonctions en escalier » :
elles sont constantes sur des sous-intervalles formant une partition de I (figure 1).
Si la fonction v prend les valeurs v 1 , v 2 , . . . , v p sur ces intervalles, l’intégrale de v
est par définition le nombre
I(v) = v 1 1 + v 2 2 + · · · + v p p
où 1 ,. . .,, p sont les longueurs des intervalles.
Dans l’intégrale, chaque aire de rectangle est
comptée avec le signe de v i : positivement si
v i est positif, négativement sinon. L’intégrale
est donc une aire algébrique.
u 1
u 2
u 3
v 1
v 2
v 3
1
2
3
4
5
a
b
f
figure 2
Pour définir l’intégrale d’une fonction f plus
générale, on l’encadre par des fonctions en escalier u et v prenant des valeurs u 1 , . . . , u p et
v 1 ,. . .,v p sur des sous-intervalles : sur la figure
2, l’aire A sous le graphe de f satisfait ainsi
284 – L’INT ´
EGRALE
plus de maximum sur ce segment : par exemple, en désignant par E(x) la partie entière
du nombre x, la fonction x → x−E(x) n’atteint pas son maximum sur [0, 1] (figure 2).
1
1
0
figure 1
1
1
0
figure 2
La propriété (b) s’appelle la continuité uniforme. Elle exprime que si l’on se donne
ε > 0, alors il existe α > 0 tel que, pour tous x et y dans [a, b] vérifiant |x − y| α,
on a |f (x) − f (y)| ε.
Une fonction continue sur un intervalle I qui n’est pas un segment n’a pas forcément
la propriété de continuité uniforme.
Par exemple, pour la fonction f : R → R définie par f (x) = x
2 , les valeurs x n = n et
y n = x n + 1/n sont très proches lorsque n est assez grand, mais les valeurs f (x n ) = n
2 et
f (y n ) = (n + 1/n)
2 diffèrent toujours de f (y n ) − f (x n ) = (n + 1/n)
2
− n
2 = 2 + (1/n)
2 > 2.
5. L'intégrale
5.1 Définition de l'intégrale
Il s’agit de mesurer l’aire comprise entre le graphe d’une fonction et l’axe des x, sur
un segment donné I = [a, b].
v 1
v 2
v 3
1
2
3
a
b
figure 1
Pour cette question, les fonctions les plus simples sont les « fonctions en escalier » :
elles sont constantes sur des sous-intervalles formant une partition de I (figure 1).
Si la fonction v prend les valeurs v 1 , v 2 , . . . , v p sur ces intervalles, l’intégrale de v
est par définition le nombre
I(v) = v 1 1 + v 2 2 + · · · + v p p
où 1 ,. . .,, p sont les longueurs des intervalles.
Dans l’intégrale, chaque aire de rectangle est
comptée avec le signe de v i : positivement si
v i est positif, négativement sinon. L’intégrale
est donc une aire algébrique.
u 1
u 2
u 3
v 1
v 2
v 3
1
2
3
4
5
a
b
f
figure 2
Pour définir l’intégrale d’une fonction f plus
générale, on l’encadre par des fonctions en escalier u et v prenant des valeurs u 1 , . . . , u p et
v 1 ,. . .,v p sur des sous-intervalles : sur la figure
2, l’aire A sous le graphe de f satisfait ainsi
284 – L’INT ´
EGRALE