Exemple. Voici un tableau de quelques valeurs pour les fonctions x →x
2 et x →(3/2)
x
(rappelons qu’on a posé a
x = exp(xlna) si a est un nombre strictement positif). Puisqu’on a (3/2)
x = 3
x
2
x , il n’est pas difficile de calculer ces valeurs lorsque x est un entier.
x
0
1
2
12
13
x
2
0
1
4
144 169
(3/2)
x
1
1,5 2,25 129,7 194,6
Les fonctions x
2 et (3/2)
x sont toutes deux continues sur l’intervalle [0, +∞[.
Pour x = 1, on a x
2 < (3/2)
x et pour x = 2, on a x
2 > (3/2)
x . La différence x
2
− (3/2)
x
change de signe entre 1 et 2 et c’est une fonction continue sur [0, +∞[. D’après
l’application du théorème des valeurs intermédiaires, il y a donc un nombre α ∈ ]1, 2[
tel que α
2 = (3/2)
α .
Pour x = 12, on a x
2 > (3/2)
x et pour x = 13, on a x
2 < (3/2)
x . A nouveau, la différence x
2
− (3/2)
x change de signe entre 12 et 13, donc il y a un nombre β ∈ ]12, 13[
tel que β
2 = (3/2)
β .
Ainsi l’équation x
2 = (3/2)
x possède au moins les deux solutions α et β ; en étudiant
plus précisément ces fonctions, on peut montrer qu’il n’y a pas d’autres solutions.
Corollaire. Tout polynôme à coefficients réels et de degré impair possède au moins une
racine réelle.
Démonstration. Soit P un polynôme à coefficients réels et de degré n impair. Si le coefficient dominant est par exemple positif, alors lim
x→+∞
P (x) = +∞ et lim
x→−∞
P (x) = −∞. Il
s’ensuit que P (x) est positif pour des valeurs de x positives assez grandes et que P (x) est
négatif pour des valeurs négatives de x assez grandes en valeur absolue. Puisque la fonction
x → P (x) est continue sur R, l’équation P (x) = 0 possède au moins une solution dans R.
Fonction continue monotone. Une fonction continue et strictement monotone sur
un intervalle I définit une bijection de I sur l’intervalle image f (I) et la bijection réciproque
est continue.
Fonction continue sur un segment. Soit f une fonction continue sur un segment
[a, b].
a) Quand x parcourt [a, b], les valeurs f (x) ont un maximum et un minimum : il existe
des éléments u et v de [a, b] tels que, pour tout x ∈ [a, b], on a f (u) f (x) f (v).
Le nombre m = f (u) est le minimum de f , le nombre M = f (v) est le maximum.
b) Étant donné un nombre ε > 0, on peut partager le segment [a,b] en sous-intervalles de longueurs assez petites pour que sur chacun d’eux, la variation des valeurs de f n’excède pas ε.
® Sur un intervalle qui n’est pas un segment, une fonction, même continue, n’atteint
pas nécessairement un maximum : par exemple, la fonction x → x
2 sur [0, 1[ n’atteint
pas son maximum sur [0, 1[ (figure 1).
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 283
2 et x →(3/2)
x
(rappelons qu’on a posé a
x = exp(xlna) si a est un nombre strictement positif). Puisqu’on a (3/2)
x = 3
x
2
x , il n’est pas difficile de calculer ces valeurs lorsque x est un entier.
x
0
1
2
12
13
x
2
0
1
4
144 169
(3/2)
x
1
1,5 2,25 129,7 194,6
Les fonctions x
2 et (3/2)
x sont toutes deux continues sur l’intervalle [0, +∞[.
Pour x = 1, on a x
2 < (3/2)
x et pour x = 2, on a x
2 > (3/2)
x . La différence x
2
− (3/2)
x
change de signe entre 1 et 2 et c’est une fonction continue sur [0, +∞[. D’après
l’application du théorème des valeurs intermédiaires, il y a donc un nombre α ∈ ]1, 2[
tel que α
2 = (3/2)
α .
Pour x = 12, on a x
2 > (3/2)
x et pour x = 13, on a x
2 < (3/2)
x . A nouveau, la différence x
2
− (3/2)
x change de signe entre 12 et 13, donc il y a un nombre β ∈ ]12, 13[
tel que β
2 = (3/2)
β .
Ainsi l’équation x
2 = (3/2)
x possède au moins les deux solutions α et β ; en étudiant
plus précisément ces fonctions, on peut montrer qu’il n’y a pas d’autres solutions.
Corollaire. Tout polynôme à coefficients réels et de degré impair possède au moins une
racine réelle.
Démonstration. Soit P un polynôme à coefficients réels et de degré n impair. Si le coefficient dominant est par exemple positif, alors lim
x→+∞
P (x) = +∞ et lim
x→−∞
P (x) = −∞. Il
s’ensuit que P (x) est positif pour des valeurs de x positives assez grandes et que P (x) est
négatif pour des valeurs négatives de x assez grandes en valeur absolue. Puisque la fonction
x → P (x) est continue sur R, l’équation P (x) = 0 possède au moins une solution dans R.
Fonction continue monotone. Une fonction continue et strictement monotone sur
un intervalle I définit une bijection de I sur l’intervalle image f (I) et la bijection réciproque
est continue.
Fonction continue sur un segment. Soit f une fonction continue sur un segment
[a, b].
a) Quand x parcourt [a, b], les valeurs f (x) ont un maximum et un minimum : il existe
des éléments u et v de [a, b] tels que, pour tout x ∈ [a, b], on a f (u) f (x) f (v).
Le nombre m = f (u) est le minimum de f , le nombre M = f (v) est le maximum.
b) Étant donné un nombre ε > 0, on peut partager le segment [a,b] en sous-intervalles de longueurs assez petites pour que sur chacun d’eux, la variation des valeurs de f n’excède pas ε.
® Sur un intervalle qui n’est pas un segment, une fonction, même continue, n’atteint
pas nécessairement un maximum : par exemple, la fonction x → x
2 sur [0, 1[ n’atteint
pas son maximum sur [0, 1[ (figure 1).
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
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