Propriétés des fonctions continues
a) Si des fonctions f et g sont continues en a, leur somme x → f (x) + g(x) et leur
produit x → f (x)g(x) sont continus en a. Si de plus g(a) = 0, le quotient x →
f (x)
g(x)
est continue en a.
b) Supposons que f est une fonction ayant pour limite a quand x tend vers x 0 . Si g est
continue en a, alors g
f (x)
tend vers g(a) quand x tend vers x 0 .
c) Si une suite (u n ) a pour limite a et si g est continue en a, alors g(u n ) tend vers g(a).
Supposons que f est une fonction continue en x 0 et que g est une fonction continue
en a = f (x 0 ). Alors f (x) tend vers a = f (x 0 ) quand x tend vers x 0 , donc (propriété
(b)), g
f (x)
tend vers g(a) = g
f (x 0 )
quand x tend vers x 0 . Cela veut dire que la
composée x → (g ◦ f )(x) est continue en x 0 .
En particulier, si f et g sont continues en tout point et si la composée g ◦ f est
définie, alors g ◦ f est continue en tout point.
La composée de deux fonctions continues est continue.
Proposition. Une fonction dérivable en a est continue en a.
Démonstration. Si f est une fonction dérivable en a, alors f (x) − f (a) = f
(a)(x− a)+ϕ(x),
où la fonction ε(x) =
ϕ(x)
x − a
tend vers 0 quand x tend vers a. Le produit (x − a)ε(x) = ϕ(x)
tend vers 0 quand x tend vers a, de même que f
(a)(x − a), donc aussi f (x) − f (a) : cela
veut dire que l’on a lim
x→a
f (x) = f (a).
Fonctions continues sur un intervalle
Les fonctions qui sont continues sur tout un intervalle ont des propriétés fondamentales qu’on utilise constamment. Rappelons-les sans démonstration.
Théorème des valeurs intermédiaires. Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur l’intervalle I . Si a et b sont des éléments de I et si k est un nombre compris
entre f (a) et f (b), il existe un nombre c compris entre a et b tel que f (c) = k.
Application. Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur un intervalle I . Si a
et b sont des éléments de I tels que f (a) et f (b) sont de signes contraires, il existe un
nombre c ∈ ]a, b[ tel que f (c) = 0.
C’est un énoncé utile pour montrer qu’une équation f (x) = 0 possède au moins une
solution.
Pour le démontrer, on applique simplement le théorème des valeurs intermédiaires en
choisissant la valeur k = 0 qui, par hypothèse, est bien comprise entre f (a) et f (b).
282 – FONCTIONS CONTINUES
a) Si des fonctions f et g sont continues en a, leur somme x → f (x) + g(x) et leur
produit x → f (x)g(x) sont continus en a. Si de plus g(a) = 0, le quotient x →
f (x)
g(x)
est continue en a.
b) Supposons que f est une fonction ayant pour limite a quand x tend vers x 0 . Si g est
continue en a, alors g
f (x)
tend vers g(a) quand x tend vers x 0 .
c) Si une suite (u n ) a pour limite a et si g est continue en a, alors g(u n ) tend vers g(a).
Supposons que f est une fonction continue en x 0 et que g est une fonction continue
en a = f (x 0 ). Alors f (x) tend vers a = f (x 0 ) quand x tend vers x 0 , donc (propriété
(b)), g
f (x)
tend vers g(a) = g
f (x 0 )
quand x tend vers x 0 . Cela veut dire que la
composée x → (g ◦ f )(x) est continue en x 0 .
En particulier, si f et g sont continues en tout point et si la composée g ◦ f est
définie, alors g ◦ f est continue en tout point.
La composée de deux fonctions continues est continue.
Proposition. Une fonction dérivable en a est continue en a.
Démonstration. Si f est une fonction dérivable en a, alors f (x) − f (a) = f
(a)(x− a)+ϕ(x),
où la fonction ε(x) =
ϕ(x)
x − a
tend vers 0 quand x tend vers a. Le produit (x − a)ε(x) = ϕ(x)
tend vers 0 quand x tend vers a, de même que f
(a)(x − a), donc aussi f (x) − f (a) : cela
veut dire que l’on a lim
x→a
f (x) = f (a).
Fonctions continues sur un intervalle
Les fonctions qui sont continues sur tout un intervalle ont des propriétés fondamentales qu’on utilise constamment. Rappelons-les sans démonstration.
Théorème des valeurs intermédiaires. Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur l’intervalle I . Si a et b sont des éléments de I et si k est un nombre compris
entre f (a) et f (b), il existe un nombre c compris entre a et b tel que f (c) = k.
Application. Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur un intervalle I . Si a
et b sont des éléments de I tels que f (a) et f (b) sont de signes contraires, il existe un
nombre c ∈ ]a, b[ tel que f (c) = 0.
C’est un énoncé utile pour montrer qu’une équation f (x) = 0 possède au moins une
solution.
Pour le démontrer, on applique simplement le théorème des valeurs intermédiaires en
choisissant la valeur k = 0 qui, par hypothèse, est bien comprise entre f (a) et f (b).
282 – FONCTIONS CONTINUES