4. Fonctions continues
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I et soit a ∈ I . Pour
être certain qu’en prenant des valeurs de plus en plus proches de a, on obtient des
valeurs qui tendent vers f (a), il n’y a pas besoin que la fonction soit dérivable : il
suffit que f (x) ait pour limite f (a) quand x tend vers a.
Définition
La fonction f est continue en a si lim
x→a
f (x) = f (a). Si f est continue en tout point
de I , on dit que f est continue sur I .
La fonction f est continue en a si pour tout nombre ε > 0, il existe un intervalle
[x 0 − α, x 0 + α], avec α > 0, sur lequel f ne prend que des valeurs comprises entre
f (a) − ε et f (a) + ε.
La propriété de continuité ne permet cependant pas de comparer les ordres de grandeur
des écarts |f (x) − f (a)| et |x − a| pour x proche de a.
Exemple. Définissons une fonction f en posant
f (x) = 2x − x
2 si 0 x 1 et f (x) =
1
10x − 9
si x > 1.
Cette fonction est continue en 1 : en effet, on a lim
x→1 −
f (x) = lim
x→1 −
(2x−x
2 ) = 1 et
lim
x→1 +
f (x) = lim
x→1 +
1
10x−9
= 1, donc la limite à gauche est égale à la limite à droite, la
valeur commune étant f (1) = 1.
® Pour h<0, on a f (1+h)=2(1+h)−(1+h)
2 =1−h
2 , donc le rapport
f (1+h) − f (1)
h
=
−h
2
h
tend vers 0 quand h tend vers 0 par valeurs négatives : la dérivée à gauche
en 1 vaut 0, de sorte que l’accroissement f (1+h) − f (1) est négligeable devant h
quand h tend vers 0 par valeurs négatives.
® Pour h > 0, on a f (1+h) =
1
10(1+h)−9
= [1+10h]
−1 = 1−10h+ϕ(h), où ϕ(h)
h→0 +
h :
la dérivée à droite en 1 vaut donc −10 et quand h tend vers 0 par valeurs
positives, on a f (1+h) − f (1) ∼ −10h.
x
y
1
1
Puisque la dérivée à gauche en 1 n’est pas égale à la dérivée à
droite, la fonction f n’est pas dérivable en 1. Le graphe possède
deux demi-tangente au point (1, 1), l’une de pente 0, l’autre de
pente −10. Selon le signe de h, les quantités
f (1+h)−f (1)
/h
ont des ordres de grandeur très différents.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 281
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I et soit a ∈ I . Pour
être certain qu’en prenant des valeurs de plus en plus proches de a, on obtient des
valeurs qui tendent vers f (a), il n’y a pas besoin que la fonction soit dérivable : il
suffit que f (x) ait pour limite f (a) quand x tend vers a.
Définition
La fonction f est continue en a si lim
x→a
f (x) = f (a). Si f est continue en tout point
de I , on dit que f est continue sur I .
La fonction f est continue en a si pour tout nombre ε > 0, il existe un intervalle
[x 0 − α, x 0 + α], avec α > 0, sur lequel f ne prend que des valeurs comprises entre
f (a) − ε et f (a) + ε.
La propriété de continuité ne permet cependant pas de comparer les ordres de grandeur
des écarts |f (x) − f (a)| et |x − a| pour x proche de a.
Exemple. Définissons une fonction f en posant
f (x) = 2x − x
2 si 0 x 1 et f (x) =
1
10x − 9
si x > 1.
Cette fonction est continue en 1 : en effet, on a lim
x→1 −
f (x) = lim
x→1 −
(2x−x
2 ) = 1 et
lim
x→1 +
f (x) = lim
x→1 +
1
10x−9
= 1, donc la limite à gauche est égale à la limite à droite, la
valeur commune étant f (1) = 1.
® Pour h<0, on a f (1+h)=2(1+h)−(1+h)
2 =1−h
2 , donc le rapport
f (1+h) − f (1)
h
=
−h
2
h
tend vers 0 quand h tend vers 0 par valeurs négatives : la dérivée à gauche
en 1 vaut 0, de sorte que l’accroissement f (1+h) − f (1) est négligeable devant h
quand h tend vers 0 par valeurs négatives.
® Pour h > 0, on a f (1+h) =
1
10(1+h)−9
= [1+10h]
−1 = 1−10h+ϕ(h), où ϕ(h)
h→0 +
h :
la dérivée à droite en 1 vaut donc −10 et quand h tend vers 0 par valeurs
positives, on a f (1+h) − f (1) ∼ −10h.
x
y
1
1
Puisque la dérivée à gauche en 1 n’est pas égale à la dérivée à
droite, la fonction f n’est pas dérivable en 1. Le graphe possède
deux demi-tangente au point (1, 1), l’une de pente 0, l’autre de
pente −10. Selon le signe de h, les quantités
f (1+h)−f (1)
/h
ont des ordres de grandeur très différents.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
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