Quotient de fonctions : Si q =
y
z
, alors
dq
q
=
dy
y
− dz
z
.
Puissance d'une fonction : Si u = y
α , alors du
u
= α
dy
y
.
Ces formules s’obtiennent en dérivant dans les relations ln(ky)=lnk+lny, ln(yz)=lny+lnz ,
ln
y
z = ln y − ln z et ln(y
α ) = α ln y. De même, si p = yz, alors dp = (dy)z + y(dz), donc
dp
p =
(dy)z + y(dz)
yz
=
dy
y + dz
z .
Exemple. On mesure le volume d’une sphère avec une erreur relative d’au plus
10%. Comment estimer l’erreur que l’on commet en calculant le rayon r 0 ?
Le volume d’une sphère de rayon r est v = (4/3)πr
3 . On a dv
v
=
d(r
3 )
r
3
= 3 dr
r
, donc
dr
r
= 1
3
dv
v
. Si dv
v
vaut au plus 1/10, l’erreur relative sur le rayon est de l’ordre de
1/30. Il vient donc
|r − r 0 |
r 0
1
30
ou encore 29
30
r 0 r 31
30
r 0 .
Coefficient d'élasticité. Supposons que des quantités x et y varient en fonction
d’un paramètre en ayant des ordres de grandeur très différents : dans ce cas, la
mesure de la dérivée
dy
dx
n’a pas grand sens.
Mais si l’on considère des variations relatives
δy
y
et δx
x
, ces rapports ne sont pas
affectés par un changement d’échelle du type x → Kx ou y → Ky. Il en va de même
des dérivées logarithmiques
dy
y
et dx
x
, appelées élasticités de y et de x. Pour étudier
l’effet produit sur y par une variation de x, on définit le coefficient d’élasticité de y
par rapport à x en posant :
e y/x =
dy/y
dx/x
=
dy
dx
x
y
Par exemple, dans un marché de consommation, la quantité y demandée pour un bien
donné dépend du prix p de ce bien. Certains modèles économiques proposent entre p
et y une relation de la forme y = Ap
n , où A est une constante positive et n un entier
positif ou négatif. On a alors
dy
y = n
dp
p et e y/p =
dy/y
dp/p
= n. Le coefficient d’élasticité
est constant et vaut toujours n : on dit que la relation entre p et y est isoélastique.
Dans la plupart des cas, ce coefficient d’élasticité e y/p est négatif : en effet, une diminution du prix augmente en général la demande, de sorte que la fonction p → y est
décroissante ; pour une fonction puissance y = p
n , cela veut dire que l’exposant n est
négatif (on dit que le bien est typique). Cependant, certains biens de luxe (qualifiés
d’atypiques) ont un coefficient d’élasticité positif.
280 – FONCTIONS CONTINUES
y
z
, alors
dq
q
=
dy
y
− dz
z
.
Puissance d'une fonction : Si u = y
α , alors du
u
= α
dy
y
.
Ces formules s’obtiennent en dérivant dans les relations ln(ky)=lnk+lny, ln(yz)=lny+lnz ,
ln
y
z = ln y − ln z et ln(y
α ) = α ln y. De même, si p = yz, alors dp = (dy)z + y(dz), donc
dp
p =
(dy)z + y(dz)
yz
=
dy
y + dz
z .
Exemple. On mesure le volume d’une sphère avec une erreur relative d’au plus
10%. Comment estimer l’erreur que l’on commet en calculant le rayon r 0 ?
Le volume d’une sphère de rayon r est v = (4/3)πr
3 . On a dv
v
=
d(r
3 )
r
3
= 3 dr
r
, donc
dr
r
= 1
3
dv
v
. Si dv
v
vaut au plus 1/10, l’erreur relative sur le rayon est de l’ordre de
1/30. Il vient donc
|r − r 0 |
r 0
1
30
ou encore 29
30
r 0 r 31
30
r 0 .
Coefficient d'élasticité. Supposons que des quantités x et y varient en fonction
d’un paramètre en ayant des ordres de grandeur très différents : dans ce cas, la
mesure de la dérivée
dy
dx
n’a pas grand sens.
Mais si l’on considère des variations relatives
δy
y
et δx
x
, ces rapports ne sont pas
affectés par un changement d’échelle du type x → Kx ou y → Ky. Il en va de même
des dérivées logarithmiques
dy
y
et dx
x
, appelées élasticités de y et de x. Pour étudier
l’effet produit sur y par une variation de x, on définit le coefficient d’élasticité de y
par rapport à x en posant :
e y/x =
dy/y
dx/x
=
dy
dx
x
y
Par exemple, dans un marché de consommation, la quantité y demandée pour un bien
donné dépend du prix p de ce bien. Certains modèles économiques proposent entre p
et y une relation de la forme y = Ap
n , où A est une constante positive et n un entier
positif ou négatif. On a alors
dy
y = n
dp
p et e y/p =
dy/y
dp/p
= n. Le coefficient d’élasticité
est constant et vaut toujours n : on dit que la relation entre p et y est isoélastique.
Dans la plupart des cas, ce coefficient d’élasticité e y/p est négatif : en effet, une diminution du prix augmente en général la demande, de sorte que la fonction p → y est
décroissante ; pour une fonction puissance y = p
n , cela veut dire que l’exposant n est
négatif (on dit que le bien est typique). Cependant, certains biens de luxe (qualifiés
d’atypiques) ont un coefficient d’élasticité positif.
280 – FONCTIONS CONTINUES