Exemple.
M
A
O
d
r
θ
ϕ
m
Un point mobile M décrit un cercle de centre O et de rayon r. On le filme
depuis un point fixe A situé à une distance d > r
de O. Quelle relation différentielle y a-t-il entre
l’angle θ =
− − − − − →
OA,
− − − − − − − →
OM qui repère la position de M et
l’angle ϕ =
− − − − − →
AO,
− − − − − − − →
AM que fait la caméra avec
− − − − − →
AO ?
Notons m la projection de M sur OA. On a Om =
rcosθ, et mM =rsinθ donc tanϕ= mM
Am
= r sin θ
d − r cos θ
.
L’angle ϕ est maximum quand AM est tangent
au cercle, pour une valeur ϕ max telle que sin(ϕ max ) = r
d
. En posant a = r/d, il vient
tan ϕ = a sin θ
1 − a cos θ
Les angles ϕ et θ sont des fonctions du temps qu’on suppose dérivables.
– La différentielle de tan ϕ est (1 + tan
2 ϕ) dϕ,
– et la différentielle de
sin θ
1 − a cos θ
est
cos θ dθ(1 − a cos θ) − sin θ(a sin θ dθ)
(1 − a cos θ)
2
, donc
(1)
(1 + tan
2 ϕ) dϕ = a
cos θ − a
(1 − a cos θ)
2
dθ
On en déduit que la dérivée de la fonction θ → ϕ(θ) est
dϕ
dθ
=
a
1 + tan
2 ϕ
cos θ − a
(1 − a cos θ)
2
.
L’angle θ est une fonction θ(t) du temps. En divisant par dt dans (1) et en notant
comme d’habitude ˙
ϕ =
dϕ
dt
et ˙
θ = dθ
dt
les dérivées par rapport au temps, on obtient
(1 + tan
2 ϕ) ˙
ϕ(t) = a
cos θ − a
(1 − a cos θ)
2
˙
θ(t)
Par exemple, pour θ = 0, l’angle ϕ est nul et à cet instant, on a l’égalité ˙
ϕ = a
1−a
˙
θ.
Quand ϕ = ϕ max , on a θ = π
2
− ϕ max , donc cos θ = sin(ϕ max ) = a et ˙
ϕ = 0.
Dérivée logarithmique
Définition
Soit f une fonction dérivable à valeurs strictement positives. La dérivée logarithmique
de f est la dérivée de la fonction x → ln
f (x)
, c’est-à-dire
f
(x)
f (x)
.
En posant z=f (x), la différentielle de lnz est dz
z
et l’on a les règles de calcul suivantes.
Produit par une constante : Si k est une constante, alors
d(ky)
ky
=
dy
y
.
Produit de fonctions : Si p = yz, alors
dp
p
=
dy
y
+ dz
z
.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 279