Pour dériver g(y) = Arc tany, écrivons que pour tout y, on a tan
g(y)
= y : on obtient
tan
g(y)
g
(y) = 1. Posons x = g(y), de sorte que tan x = y. On a
tan
(x) = 1 + (tan x)
2 = 1 + y
2 ,
d’où (1 + y
2 )g
(y) = 1.
Arc tan
(y) =
1
1 + y
2
, pour tout y ∈ R.
x
x
y
Arc sin
1
π/2
−1
−π/2
x
x
y
Arc
π/2
−π/2
tan
3.6 La différentielle
Supposons que f est une fonction dérivable en a. Par définition, l’accroissement
f (x) − f (a) est alors approché par f
(a)(x − a), avec une erreur infiniment petite
devant x−a.
Définition
La différentielle en a de la fonction y = f (x) est la fonction linéaire t → f
(a) t. On
note dx la variable et dy la valeur de la différentielle, de sorte qu’on a dy = f
(a)dx.
La dérivée de f au point a se note aussi
dy
dx
= f
(a).
Si l’on donne à la variable dx une valeur numérique assez petite δx, alors δy =f
(a)δx
est une bonne approximation de l’accroissement f (a + δx) − f (a) des valeurs de la
fonction. Traduisons le calcul des dérivées en un calcul des différentielles.
Soient y = f (x) et z = g(x) des fonctions dérivables d’une même variable x.
Somme : d(y + z) = dy + dz.
Produit par une constante : Si k est une constante, alors d(ky) = k dy.
Produit : d(yz) = (dy)z + y(dz).
Quotient : Aux points où z = 0, d
y
z
=
dy
z
−
y
z
2
dz.
Composée : Si v = g(y) et y = f (x), alors dv = g
(y)dy = g
(y)f
(x)dx, ou encore
dv
dx
= dv
dy
dy
dx
(règle de différentiation en chaîne)
C’est la formule pour dériver la fonction composée g ◦ f : dv
dx
= (g ◦ f )
(x) = g
(y)f
(x).
Fonctions réciproques l'une de l'autre : Si des quantités x et y sont fonctions réciproques l’une de l’autre, leurs dérivées en des points qui se correspondent sont
inverses l’une de l’autre : dx
dy
=
dy
dx
−1
.
278 – LA D ´
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