®
x
α
y
α
−
graphe de
f (x)
Quand x va de −α à 0,
f (x) croît de 0 à
√
1,7 ; quand x
va de 0 à α,
f (x) décroît de
√
1,7 à 0.
® On a f
(x) = − sin x donc au point α, le graphe de f a une
tangente de pente − sin α = 0. Par conséquent,
f (x) a une
tangente verticale en α, et de même en −α.
x
y
α
Pour dessiner la courbe d’équation y
2 = 0,7 + cos x entre −π et
π, il suffit de compléter le graphe de
f (x) par symétrie par
rapport à l’axe des abscisses. On trouve ainsi une courbe fermée
et symétrique par rapport à chacun des axes.
3.5 Les fonctions trigonométriques réciproques
La fonction Arc sinus
La fonction x → sin x définit une bijection croissante [−π/2, π/2] → [−1, 1] : pour
tout nombre y ∈ [−1, 1], il existe un unique nombre x ∈ [−π/2, π/2] tel que y = sinx.
Définition
Pour tout y ∈ [−1, 1], on note Arc sin y le nombre x ∈ [−π/2,π/2] tel que y = sin x ;
ce nombre s’appelle l’Arc sinus de y. La fonction y → Arc sin y est une bijection
croissante et impaire de [−1, 1] sur [−π/2, π/2].
On a Arc sin 0 = 0, Arc sin 1
2
= π
6
, Arc sin
√
2
2
= π
4
, Arc sin
√
3
2
= π
3
et Arc sin 1 = π
2
.
Pour dériver f (y) = Arc sin y, écrivons que pour tout y ∈ ]−1, 1[, on a l’identité
sin
f (y)
= y et dérivons en appliquant la règle pour une fonction composée. Il vient
cos
f (y)
f
(y) = 1. Puisqu’on a supposé y strictement compris entre −1 et 1, le
nombre x = f (y) est dans l’intervalle ouvert ]−π/2, π/2[, donc cos x > 0. Ainsi on a
cos x =
1 − (sin x) 2 =
1 − y 2 , car sin x = y, et il vient
Arc sin
(y) =
1
1 − y 2
, pour tout y ∈ ]−1, 1[.
La fonction Arc tangente
La fonction x → tan x définit une bijection croissante ]−π/2,π/2[ → ]−∞, +∞[ : pour
tout nombre réel y, il existe un unique nombre x ∈ ]−π/2, π/2[ tel que y = tan x.
Définition
Pour tout y ∈ R, on note Arc tan y le nombre x ∈ ]−π/2, π/2[ tel que y = tan x ;
ce nombre s’appelle l’Arc tangente de y. La fonction y → Arc tan y est une bijection
croissante et impaire de R sur ]−π/2, π/2[.
On a Arc tan 0 = 0, Arc tan 1 = π/4 et lim
x→+∞
(Arc tan x) = π/2.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 277
x
α
y
α
−
graphe de
f (x)
Quand x va de −α à 0,
f (x) croît de 0 à
√
1,7 ; quand x
va de 0 à α,
f (x) décroît de
√
1,7 à 0.
® On a f
(x) = − sin x donc au point α, le graphe de f a une
tangente de pente − sin α = 0. Par conséquent,
f (x) a une
tangente verticale en α, et de même en −α.
x
y
α
Pour dessiner la courbe d’équation y
2 = 0,7 + cos x entre −π et
π, il suffit de compléter le graphe de
f (x) par symétrie par
rapport à l’axe des abscisses. On trouve ainsi une courbe fermée
et symétrique par rapport à chacun des axes.
3.5 Les fonctions trigonométriques réciproques
La fonction Arc sinus
La fonction x → sin x définit une bijection croissante [−π/2, π/2] → [−1, 1] : pour
tout nombre y ∈ [−1, 1], il existe un unique nombre x ∈ [−π/2, π/2] tel que y = sinx.
Définition
Pour tout y ∈ [−1, 1], on note Arc sin y le nombre x ∈ [−π/2,π/2] tel que y = sin x ;
ce nombre s’appelle l’Arc sinus de y. La fonction y → Arc sin y est une bijection
croissante et impaire de [−1, 1] sur [−π/2, π/2].
On a Arc sin 0 = 0, Arc sin 1
2
= π
6
, Arc sin
√
2
2
= π
4
, Arc sin
√
3
2
= π
3
et Arc sin 1 = π
2
.
Pour dériver f (y) = Arc sin y, écrivons que pour tout y ∈ ]−1, 1[, on a l’identité
sin
f (y)
= y et dérivons en appliquant la règle pour une fonction composée. Il vient
cos
f (y)
f
(y) = 1. Puisqu’on a supposé y strictement compris entre −1 et 1, le
nombre x = f (y) est dans l’intervalle ouvert ]−π/2, π/2[, donc cos x > 0. Ainsi on a
cos x =
1 − (sin x) 2 =
1 − y 2 , car sin x = y, et il vient
Arc sin
(y) =
1
1 − y 2
, pour tout y ∈ ]−1, 1[.
La fonction Arc tangente
La fonction x → tan x définit une bijection croissante ]−π/2,π/2[ → ]−∞, +∞[ : pour
tout nombre réel y, il existe un unique nombre x ∈ ]−π/2, π/2[ tel que y = tan x.
Définition
Pour tout y ∈ R, on note Arc tan y le nombre x ∈ ]−π/2, π/2[ tel que y = tan x ;
ce nombre s’appelle l’Arc tangente de y. La fonction y → Arc tan y est une bijection
croissante et impaire de R sur ]−π/2, π/2[.
On a Arc tan 0 = 0, Arc tan 1 = π/4 et lim
x→+∞
(Arc tan x) = π/2.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
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