lim
x→a
1/
f (x) = +∞ : cela veut dire que le graphe de
f (x) a une tangente verticale
en a. La dérivée de
f (x)
2 au point a est 2f (a)f
(a) = 0 puisque f (a) = 0 : le
graphe de
f (x)
2 est donc tangent en a à l’axe des abscisses.
x
y
x
y
x
y
a
b
c
a
b
c
a
b
c
f (x)
f (x)
f (x)
2
6) Si f (x)
x→+∞
x
2 , alors quand x tend vers +∞, le graphe de
f (x) a pour direction
asymptotique l’axe des abscisses.
Il suffit de remarquer que si f (x)/x
2 tend vers 0 quand x tend vers +∞, alors
f (x)/x =
f (x)/x 2 tend aussi vers 0.
7) Si f (x)
x→+∞
√
x, alors quand x tend vers +∞, le graphe de
f (x)
2 a pour direction
asymptotique l’axe des ordonnées.
Remarque
Si le graphe de f est tangent à l’axe des abscisses en un point a, on ne peut rien en déduire sur le comportement de
f (x) au voisinage de a. Ainsi les fonctions f 1 (x)=x
2 ,
f 2 (x) = 4x
2 et f 3 (x) = 4x
4 sont tangentes à l’axe des x à l’origine, mais en ce point
®
f 1 (x) = |x| a deux demi-tangentes de pente 1 et −1 ;
®
f 2 (x) = 2|x| a deux-demi tangentes de pente 2 et −2 ;
®
f 3 (x) = 2x
2 est tangente à l’axe des x.
x
y
x
y
x
y
x
y
f 1 , f 2 , f 3
allure de
√
f 1
√
f 2
√
f 3
Un exemple. Dessinons la courbe d’équation y
2 = 0,7 + cos x, où −π x π.
Posons f (x)=0,7+cosx. Puisque l’équation de la courbe est y=±
f (x), commençons
par dessiner le graphe de la fonction
f (x) =
√
0,7 + cos x entre −π et π.
y
x
α
α
−
graphe de f (x)
Il y a un nombre α ∈ ]0, π[ tel que cos α = −0,7 (α est peu différent de 2,34). On a
f (±α) = 0. Puisqu’on a cos x > cos α si −α < x < α, f prend
des valeurs positives ou nulles sur [−α, α] : c’est l’intervalle de
définition de
f (x).
Sur [0,α], f décroît de 1,7 à 0 ; comme f est paire, on en déduit
qu’elle est croissante sur [−α, 0].
276 – LA D ´
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