Exemples. Voici les graphes de la fonction (sin x)
2 et de la fonction sin(x
2 ) :
y = (sin x)
2
x
y
y = sin(x
2
)
x
y
® Puisque (sin x)
2 a pour dérivée 2 sin x cos x, le graphe de (sin x)
2 est tangent à
l’axe des x en tout point kπ, où le sinus s’annule. Le maximum est atteint aux
points (π/2)+kπ, où sin x = ±1. La fonction est périodique de période π, car
sin(x+π) = − sin x, donc
sin(x+π)
2 = (sin x)
2 .
® Pour le graphe de sin(x
2 ), on a sin(x
2 ) ∼ x
2 quand x tend vers 0, d’où la forme
parabolique au voisinage de l’origine. Les oscillations sont de plus en plus rapides
au fur et à mesure qu’on s’éloigne de l’origine : en effet, sin(x
2 ) s’annule aux
points x k = ±
√
kπ, où k ∈ N, et entre deux zéros consécutifs, l’écart
|x k+1 − x k | =
(k+1)π −
√
kπ =
π
(k+1)π +
√
kπ
décroît en tendant vers 0.
3.4 Graphes du carré et de la racine carrée d'une fonction
Supposons qu’on connaisse le graphe d’une fonction dérivable f et qu’on veuille
dessiner rapidement l’allure des fonctions
f (x) et
f (x)
2 .
Le domaine de définition de
f (x) est formé des nombres x tels que f (x) 0 : ils
correspondent aux points du graphe de f situés au dessus de l’axe des abscisses.
Règles à suivre pour dessiner ces graphes
1) Les fonctions
f (x) et
f (x)
2 s’annulent exactement aux mêmes points que f .
2) Sur tout intervalle où f est positif ou nul, les fonctions
f (x) et
f (x)
2 varient dans
le même sens que f .
Si par exemple on a 0 f (x) < f(y), alors
f (x) <
f (y) et
f (x)
2 <
f (y)
2 .
3) Sur un intervalle où f (x) 0, les variations de
f (x)
2 sont opposées à celles de f .
4) Si le graphe de f coupe l’axe des abscisses avec une tangente de pente non nulle, alors
en ce point le graphe de
f (x) a une tangente verticale.
5) Si le graphe de f coupe l’axe des abscisses avec une tangente non verticale, alors en ce
point, le graphe de
f (x)
2 est tangent à l’axe des abscisses.
En notant a ce point, on a f (a) = 0 et si par exemple f
(a) > 0, f (x) est positif pour
x > a assez voisin de a :
f (x) est donc défini sur un petit intervalle J = ]a, v[.
Pour x ∈ J , on a
f (x)
x−a
=
1
f (x)
f (x)
x−a
. On en déduit que si le rapport
f (x)
x−a
a une limite non nulle quand x tend vers a, alors
f (x)
x−a
tend vers l’infini, car
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 275
2 et de la fonction sin(x
2 ) :
y = (sin x)
2
x
y
y = sin(x
2
)
x
y
® Puisque (sin x)
2 a pour dérivée 2 sin x cos x, le graphe de (sin x)
2 est tangent à
l’axe des x en tout point kπ, où le sinus s’annule. Le maximum est atteint aux
points (π/2)+kπ, où sin x = ±1. La fonction est périodique de période π, car
sin(x+π) = − sin x, donc
sin(x+π)
2 = (sin x)
2 .
® Pour le graphe de sin(x
2 ), on a sin(x
2 ) ∼ x
2 quand x tend vers 0, d’où la forme
parabolique au voisinage de l’origine. Les oscillations sont de plus en plus rapides
au fur et à mesure qu’on s’éloigne de l’origine : en effet, sin(x
2 ) s’annule aux
points x k = ±
√
kπ, où k ∈ N, et entre deux zéros consécutifs, l’écart
|x k+1 − x k | =
(k+1)π −
√
kπ =
π
(k+1)π +
√
kπ
décroît en tendant vers 0.
3.4 Graphes du carré et de la racine carrée d'une fonction
Supposons qu’on connaisse le graphe d’une fonction dérivable f et qu’on veuille
dessiner rapidement l’allure des fonctions
f (x) et
f (x)
2 .
Le domaine de définition de
f (x) est formé des nombres x tels que f (x) 0 : ils
correspondent aux points du graphe de f situés au dessus de l’axe des abscisses.
Règles à suivre pour dessiner ces graphes
1) Les fonctions
f (x) et
f (x)
2 s’annulent exactement aux mêmes points que f .
2) Sur tout intervalle où f est positif ou nul, les fonctions
f (x) et
f (x)
2 varient dans
le même sens que f .
Si par exemple on a 0 f (x) < f(y), alors
f (x) <
f (y) et
f (x)
2 <
f (y)
2 .
3) Sur un intervalle où f (x) 0, les variations de
f (x)
2 sont opposées à celles de f .
4) Si le graphe de f coupe l’axe des abscisses avec une tangente de pente non nulle, alors
en ce point le graphe de
f (x) a une tangente verticale.
5) Si le graphe de f coupe l’axe des abscisses avec une tangente non verticale, alors en ce
point, le graphe de
f (x)
2 est tangent à l’axe des abscisses.
En notant a ce point, on a f (a) = 0 et si par exemple f
(a) > 0, f (x) est positif pour
x > a assez voisin de a :
f (x) est donc défini sur un petit intervalle J = ]a, v[.
Pour x ∈ J , on a
f (x)
x−a
=
1
f (x)
f (x)
x−a
. On en déduit que si le rapport
f (x)
x−a
a une limite non nulle quand x tend vers a, alors
f (x)
x−a
tend vers l’infini, car
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