Exemples. Voici trois fonctions u, v, w qui tendent vers 0 quand x tend vers 0
mais qui se comportent bien différemment au voisinage de 0 :
x
x
y
y
x
y
u(x) =
√
x
v (x) = 2x − x
3
w(x) = x
2
graphes de u, v et w
® La fonction u(x) =
√
x n’est pas dérivable en 0, car le rapport
√
x/x = 1/
√
x tend
vers +∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives : on a u(x)
x→0 +
x, autrement
dit, au voisinage de l’origine, l’accroissement de la fonction est infiniment grand
devant celui de la variable. Intuitivement, la pente de la tangente à l’origine est
infinie, ce qui signifie qu’à l’origine, le graphe est tangent à l’axe des ordonnées.
® Pour la fonction v(x) = 2x − x
3 , la tangente à l’origine a pour pente v
(0) = 2 :
on a donc v(x) ∼
x→0
2x.
® En 0, la fonction w(x) = x
2 a pour dérivée w
(0) = 0 : le graphe de w est tangent
à l’axe des abscisses. On a w(x)
x→0
x et quand x tend vers 0, l’accroissement de
la fonction est infiniment petit devant celui de la variable.
Un comportement comme celui de u ou de w ne se produit qu’en des points exceptionnels : lorsqu’une courbe dérivable coupe l’axe des abscisses, il y a en général au point
d’intersection une tangente de pente finie non nulle.
Par exemple, perturbons un peu les fonctions u et w en leur soustrayant un petit nombre
ε > 0. Les graphes des fonctions u ε (x) = u(x) − ε et w ε (x) = w(x) − ε s’obtiennent à
partir des graphes ci-dessus en remontant de ε l’axe des abscisses.
x
x
y
y
x
y
u ε
y =
√
x − ε
v ε
y = 2x − x
3
− ε
w ε
y = x
2
− ε
T
T
T
graphes de u ε , v ε et w ε
Cette fois, le graphe de u ε coupe l’axe des abscisses en un point à tangente T de pente
finie non nulle et il en va de même pour le graphe de w ε . Cette propriété était vraie
pour v et elle reste vraie pour v ε (x) = v(x) − ε.
274 – LA D ´
ERIV ´
EE
mais qui se comportent bien différemment au voisinage de 0 :
x
x
y
y
x
y
u(x) =
√
x
v (x) = 2x − x
3
w(x) = x
2
graphes de u, v et w
® La fonction u(x) =
√
x n’est pas dérivable en 0, car le rapport
√
x/x = 1/
√
x tend
vers +∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives : on a u(x)
x→0 +
x, autrement
dit, au voisinage de l’origine, l’accroissement de la fonction est infiniment grand
devant celui de la variable. Intuitivement, la pente de la tangente à l’origine est
infinie, ce qui signifie qu’à l’origine, le graphe est tangent à l’axe des ordonnées.
® Pour la fonction v(x) = 2x − x
3 , la tangente à l’origine a pour pente v
(0) = 2 :
on a donc v(x) ∼
x→0
2x.
® En 0, la fonction w(x) = x
2 a pour dérivée w
(0) = 0 : le graphe de w est tangent
à l’axe des abscisses. On a w(x)
x→0
x et quand x tend vers 0, l’accroissement de
la fonction est infiniment petit devant celui de la variable.
Un comportement comme celui de u ou de w ne se produit qu’en des points exceptionnels : lorsqu’une courbe dérivable coupe l’axe des abscisses, il y a en général au point
d’intersection une tangente de pente finie non nulle.
Par exemple, perturbons un peu les fonctions u et w en leur soustrayant un petit nombre
ε > 0. Les graphes des fonctions u ε (x) = u(x) − ε et w ε (x) = w(x) − ε s’obtiennent à
partir des graphes ci-dessus en remontant de ε l’axe des abscisses.
x
x
y
y
x
y
u ε
y =
√
x − ε
v ε
y = 2x − x
3
− ε
w ε
y = x
2
− ε
T
T
T
graphes de u ε , v ε et w ε
Cette fois, le graphe de u ε coupe l’axe des abscisses en un point à tangente T de pente
finie non nulle et il en va de même pour le graphe de w ε . Cette propriété était vraie
pour v et elle reste vraie pour v ε (x) = v(x) − ε.
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