Exemple. Considérons un carré de côté a qu’on déforme en un rectangle en
allongeant très légèrement deux côtés opposés : comment varie la diagonale ?
a
a
x
La diagonale du carré est
√
a 2 + a 2 = a
√
2 et celle du rectangle est
f (x) =
√
a 2 + x 2 en appelant x la longueur du grand côté du rectangle. On a f
(x) =
x
√
a 2 + x 2
, donc l’approximation affine de f en
a est f (a) + f
(a)(x−a) =
√
2a 2 + a
√
2a 2
(x−a) = a
√
2 +
x−a
√
2
. Pour un
petit allongement = x − a du côté, la diagonale du carré s’allongera d’environ /
√
2.
3.3 Comportement d'une fonction au voisinage d'un point
Une fonction f a un maximum local au point a si pour tout x assez proche de a,
f (x) est inférieur ou égal à f (a). De même, f a un minimum local en a si l’on a
f (x) f (a) pour tout x assez proche de a.
Proposition. Si f est dérivable en a et si f a un maximum ou un minimum local en
a, alors f
(a) = 0.
x
y
La proposition signifie qu’en un point où f a un maximum ou
un minimum local, la tangente est horizontale, à condition que
f soit dérivable en ce point.
Démonstration. Si f
(a) = 0, on sait que f (x) − f (a) a le signe de f
(a)(x − a) pour tout
x assez proche de a. Puisque x − a change de signe en a, c’est que la différence f (x) − f (a)
ne garde pas un signe constant autour de a. Cela montre que si f
(a) = 0, alors f n’a pas
d’extremum local en a.
La condition f
(a) = 0 n’entraîne pas que f a un maximum ou un minimum local :
ainsi la dérivée de x → x
3 est nulle en x = 0, mais cette fonction n’a pas d’extremum
en 0 comme le montre le graphe page 267.
Formulons encore deux propriétés utiles.
® Si f
(a) = 0, alors
f (x) − f (a)
x→a
(x − a).
® Si lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a
= ±∞, alors
f (x) − f (a)
x→a
|x − a|.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 273
allongeant très légèrement deux côtés opposés : comment varie la diagonale ?
a
a
x
La diagonale du carré est
√
a 2 + a 2 = a
√
2 et celle du rectangle est
f (x) =
√
a 2 + x 2 en appelant x la longueur du grand côté du rectangle. On a f
(x) =
x
√
a 2 + x 2
, donc l’approximation affine de f en
a est f (a) + f
(a)(x−a) =
√
2a 2 + a
√
2a 2
(x−a) = a
√
2 +
x−a
√
2
. Pour un
petit allongement = x − a du côté, la diagonale du carré s’allongera d’environ /
√
2.
3.3 Comportement d'une fonction au voisinage d'un point
Une fonction f a un maximum local au point a si pour tout x assez proche de a,
f (x) est inférieur ou égal à f (a). De même, f a un minimum local en a si l’on a
f (x) f (a) pour tout x assez proche de a.
Proposition. Si f est dérivable en a et si f a un maximum ou un minimum local en
a, alors f
(a) = 0.
x
y
La proposition signifie qu’en un point où f a un maximum ou
un minimum local, la tangente est horizontale, à condition que
f soit dérivable en ce point.
Démonstration. Si f
(a) = 0, on sait que f (x) − f (a) a le signe de f
(a)(x − a) pour tout
x assez proche de a. Puisque x − a change de signe en a, c’est que la différence f (x) − f (a)
ne garde pas un signe constant autour de a. Cela montre que si f
(a) = 0, alors f n’a pas
d’extremum local en a.
La condition f
(a) = 0 n’entraîne pas que f a un maximum ou un minimum local :
ainsi la dérivée de x → x
3 est nulle en x = 0, mais cette fonction n’a pas d’extremum
en 0 comme le montre le graphe page 267.
Formulons encore deux propriétés utiles.
® Si f
(a) = 0, alors
f (x) − f (a)
x→a
(x − a).
® Si lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a
= ±∞, alors
f (x) − f (a)
x→a
|x − a|.
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