Pour des valeurs de x assez proches de a, la fonction affine x → f (a) + f
(a)(x − a)
est une approximation de la fonction f à condition de considérer comme négligeable
la différence ϕ(x) infiniment petite devant x − a.
Définition
L’application affine T a : x → f (a) + f
(a)(x − a) s’appelle l’approximation affine de
f au point a.
x
y
f (x)
f (a)
x
a
R
Q
P
Le graphe de T a a pour équation y = f (a) + f
(a)(x − a) :
le graphe de l’approximation affine de f au
point a est la tangente en a au graphe de f .
® Sur la figure, l’ordonnée de P est f (a), celle de Q est
T a (x), donc P Q = f
(a)(x−a).
® La distance QR est négligeable devant |x−a| pour x
assez proche de a.
3.2 Calcul des dérivées
Rappelons les règles pour calculer une dérivée ainsi que les dérivées à connaître.
® (u + v)
= u
+ v
, (uv)
= u
v + uv
,
u
v
=
u
v − uv
v
2
.
® dérivée d'une composée : (f ◦ u)
(x) = f
u(x)
u
(x).
® exp
(x) = exp x et ln
(x) = 1/x.
® La dérivée de la fonction x → x
α est αx
α−1 pour tout x > 0.
® sin
(x) = cos x, cos
(x) = − sin x et tan
(x) = 1 + (tan x)
2 =
1
(cos x)
2
.
Vérifions que la fonction f (x) = x
α se dérive bien comme une fonction puissance entière.
Par définition, on a f (x) = exp
u(x)
, où u(x) = α ln x. D’après la règle pour dériver
une composée, il vient donc
f
(x)=exp
u(x)
u
(x)=exp
u(x)
α
x =αexp
αlnx
exp
−lnx
=αexp
(α−1)lnx
=αx
α−1 .
Exemples d'appr oximations affines
Dans les formules ci-dessous, ϕ(x) désigne des quantités infiniment petites devant
x quand x tend vers 0, autrement dit ϕ(x)
x→0
x.
® (1 + x)
α = 1 + αx + ϕ(x) pour tout nombre α positif ou négatif,
® e
x = 1 + x + ϕ(x) et ln(1 + x) = x + ϕ(x)
® sin x = x + ϕ(x) , cos x = 1 + ϕ(x) et tan x = x + ϕ(x).
En effet, les fonctions e
x , ln(1 + x), sin x et tan x ont pour dérivée 1 en x = 0, la dérivée
en 0 de (1 + x)
α est α et cos
(0) = − sin 0 = 0.
® Pour u assez petit, le sinus d’un angle de u degrés est équivalent à π
180
u.
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ERIV ´
EE
(a)(x − a)
est une approximation de la fonction f à condition de considérer comme négligeable
la différence ϕ(x) infiniment petite devant x − a.
Définition
L’application affine T a : x → f (a) + f
(a)(x − a) s’appelle l’approximation affine de
f au point a.
x
y
f (x)
f (a)
x
a
R
Q
P
Le graphe de T a a pour équation y = f (a) + f
(a)(x − a) :
le graphe de l’approximation affine de f au
point a est la tangente en a au graphe de f .
® Sur la figure, l’ordonnée de P est f (a), celle de Q est
T a (x), donc P Q = f
(a)(x−a).
® La distance QR est négligeable devant |x−a| pour x
assez proche de a.
3.2 Calcul des dérivées
Rappelons les règles pour calculer une dérivée ainsi que les dérivées à connaître.
® (u + v)
= u
+ v
, (uv)
= u
v + uv
,
u
v
=
u
v − uv
v
2
.
® dérivée d'une composée : (f ◦ u)
(x) = f
u(x)
u
(x).
® exp
(x) = exp x et ln
(x) = 1/x.
® La dérivée de la fonction x → x
α est αx
α−1 pour tout x > 0.
® sin
(x) = cos x, cos
(x) = − sin x et tan
(x) = 1 + (tan x)
2 =
1
(cos x)
2
.
Vérifions que la fonction f (x) = x
α se dérive bien comme une fonction puissance entière.
Par définition, on a f (x) = exp
u(x)
, où u(x) = α ln x. D’après la règle pour dériver
une composée, il vient donc
f
(x)=exp
u(x)
u
(x)=exp
u(x)
α
x =αexp
αlnx
exp
−lnx
=αexp
(α−1)lnx
=αx
α−1 .
Exemples d'appr oximations affines
Dans les formules ci-dessous, ϕ(x) désigne des quantités infiniment petites devant
x quand x tend vers 0, autrement dit ϕ(x)
x→0
x.
® (1 + x)
α = 1 + αx + ϕ(x) pour tout nombre α positif ou négatif,
® e
x = 1 + x + ϕ(x) et ln(1 + x) = x + ϕ(x)
® sin x = x + ϕ(x) , cos x = 1 + ϕ(x) et tan x = x + ϕ(x).
En effet, les fonctions e
x , ln(1 + x), sin x et tan x ont pour dérivée 1 en x = 0, la dérivée
en 0 de (1 + x)
α est α et cos
(0) = − sin 0 = 0.
® Pour u assez petit, le sinus d’un angle de u degrés est équivalent à π
180
u.
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