3. La dérivée
3.1 Définition de la dérivée
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un nombre qui est dans I
ou bien qui est une extrémité de I .
Définition
Si le rapport
f (x) − f (a)
x − a
a une limite finie quand x tend vers a, cette limite
s’appelle la dérivée de f en a et se note f
(a).
x
y
f (x)
f (a)
A
x
f (x
y
)
=
a
M
Sur le graphe de f , plaçons le point A d’abscisse a
et un point M d’abscisse x = a. Le segment de droite
AM a pour pente
f (x) − f (a)
x − a
. La dérivée de f en a, si
elle existe, est par définition la limite des pentes de ces
segments AM quand le point M du graphe tend vers A.
Le nombre f
(a) est la pente de la tangente en A au graphe de f .
L’équation de la tangente en A est : y − f (a) = f
(a)(x − a).
La différence f (x) − f (a) est l’accroissement des valeurs de la fonction entre a et x :
la dérivée en a permet ainsi de comparer, du point de vue de l’ordre de grandeur,
l’accroissement de la fonction et l’accroissement de la variable au voisinage de a.
Si f
(a) = 0, alors
f (x) − f (a)
∼
x→a
f
(a)(x − a).
Exemple. Calculons la partie principale de f (x) =
(sin x)
2
1−e
−ax
quand x tend vers 0
(a est un nombre différent de 0).
On a sin x ∼
x→0
x et comme la dérivée en 0 de 1−e
−ax est a, il vient 1−e
−ax
∼
x→0
ax.
On en déduit que f (x) est équivalent à x
2
ax
= x
a
quand x tend vers 0.
Proposition. Pour qu’un nombre k soit la dérivée de f en a, il faut et il suffit que
l’on puisse écrire f (x) = f (a) + k(x − a) + ϕ(x), où ϕ(x)
x→a
(x − a).
Démonstration. On a en effet
f (x) − f (a)
x − a
− k =
ϕ(x)
x − a
, donc
f (x) − f (a)
x − a
tend vers k
quand x tend vers a si et seulement si
ϕ(x)
x − a
tend vers 0.
Approximation affine en un point
Supposons que f est une fonction dérivable en a. Par définition, on a donc
f (x) = f (a) + f
(a)(x − a) + ϕ(x) , où ϕ(x)
x→a
(x − a).
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 271
3.1 Définition de la dérivée
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un nombre qui est dans I
ou bien qui est une extrémité de I .
Définition
Si le rapport
f (x) − f (a)
x − a
a une limite finie quand x tend vers a, cette limite
s’appelle la dérivée de f en a et se note f
(a).
x
y
f (x)
f (a)
A
x
f (x
y
)
=
a
M
Sur le graphe de f , plaçons le point A d’abscisse a
et un point M d’abscisse x = a. Le segment de droite
AM a pour pente
f (x) − f (a)
x − a
. La dérivée de f en a, si
elle existe, est par définition la limite des pentes de ces
segments AM quand le point M du graphe tend vers A.
Le nombre f
(a) est la pente de la tangente en A au graphe de f .
L’équation de la tangente en A est : y − f (a) = f
(a)(x − a).
La différence f (x) − f (a) est l’accroissement des valeurs de la fonction entre a et x :
la dérivée en a permet ainsi de comparer, du point de vue de l’ordre de grandeur,
l’accroissement de la fonction et l’accroissement de la variable au voisinage de a.
Si f
(a) = 0, alors
f (x) − f (a)
∼
x→a
f
(a)(x − a).
Exemple. Calculons la partie principale de f (x) =
(sin x)
2
1−e
−ax
quand x tend vers 0
(a est un nombre différent de 0).
On a sin x ∼
x→0
x et comme la dérivée en 0 de 1−e
−ax est a, il vient 1−e
−ax
∼
x→0
ax.
On en déduit que f (x) est équivalent à x
2
ax
= x
a
quand x tend vers 0.
Proposition. Pour qu’un nombre k soit la dérivée de f en a, il faut et il suffit que
l’on puisse écrire f (x) = f (a) + k(x − a) + ϕ(x), où ϕ(x)
x→a
(x − a).
Démonstration. On a en effet
f (x) − f (a)
x − a
− k =
ϕ(x)
x − a
, donc
f (x) − f (a)
x − a
tend vers k
quand x tend vers a si et seulement si
ϕ(x)
x − a
tend vers 0.
Approximation affine en un point
Supposons que f est une fonction dérivable en a. Par définition, on a donc
f (x) = f (a) + f
(a)(x − a) + ϕ(x) , où ϕ(x)
x→a
(x − a).
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